杨辉三角及其空间拓展 - 图文

杨辉三角及其空间拓展

株洲市二中G0216 刘子儒 郭时伟

摘 要

本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索，发现了其奇偶排列的等边三角形现象。然后，在研究中，我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步——由平面杨辉三角走向三维杨辉三角。我们在研究过程中推导出了三维杨辉三角数坐标公式，并总结出其与三项式系数的关系。在三维杨辉三角模型的基础上我们又续而导出四维杨辉三角和N维杨辉三角。经过努力的研究，最后归纳出了四维及N维杨辉三角数坐标公式。由此得出了N项式展开项系数定理。在研究过程中我们还有机地结合现代计算机技术协助公式的推导，并将其付之实用，进一步完善了课题的研究。对此,还有几名著名的数学教授提出了宝贵的意见。

这些都是前人从未涉足过的领域，而这篇论文把这次研究的新颖性给淋漓尽致地体现出来了。

关键词：杨辉三角 空间 公式 系数

杨辉三角，作为中国古代数学中的奇迹。在数学计算中，日常生活中，无时不刻地展示着自己的魅力。从古至今，从中国到外国，有无数的学者为之着迷。

但是，以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角。如果考虑到空间上的拓展，那在学术上是突破性的。所以我们决定对杨辉三角进行全面、深刻地分析，将其拓展到三维、四维乃至N维。

研究杨辉三角，是在偶然中想到的。对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角”，不对其有些想法才是奇怪了。而恰好我的母亲又叫“杨辉”。所以，小时候第一次在《十万个为什么》中看到时就留下了深刻的印象。再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇”，愈发觉得亲切。

一．杨辉三角的相关信息

看似简单的一个数字列表，却蕴藏着很深的奥秘。这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶，也集中地体现了数学的奥妙无穷。有了它，我们可以轻易地计算两个数的和的几次方，甚至用来开一个数的几次方。

杨辉（约十三世纪）字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是我国南宋时的数学家，杨辉的数学著作有《讲解九章算法》十二卷，流传至今的只是其中的一部分，其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形，后人称为杨辉三角形，此外，他还著有《日用算法》二卷，《乘除通变算宝》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等。

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1 ／＼ 1 1 ／＼／＼ 1 2 1 ／＼／＼／＼ 1 3 3 1 ／＼／＼／＼／＼ 1 4 6 4 1 ／＼／＼／＼／＼／＼ 1 5 10 10 5 1

＼／ 20 (a+b) (a+b) 1 (a+b) 2 (a+b) 3 (a+b) (a+b)

5 4

0

图 1.1

二项式展开的系数，按（图1.1）排列成一个三角形。这里每一行的外侧的两数都是1，中间的数字等于两肩的数的和。这一三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书（1261年），在我国通常称为杨辉三角形，杨辉在书中指出“一出《释锁》算书，贾宪用此术”，可见更早时代的贾宪已知道这一三角形了。并且，当时不仅用这一三角来求二项展开式的系数，还用于对一个数开n次方。在西方，十五世纪和十六世纪时，也有多人发现了这一三角形。国外却把它叫做帕斯卡三角形。而法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal，1623~1662）发现这一三角形却是十七世纪的事，比我国杨辉晚了五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

首先，让我们来看看杨辉三角的某些性质。 1.项数:在杨辉三角的第n行的项数为(n+1)。

2.系数:在杨辉三角形的第n行，各项的系数分别为： Cn、Cn、Cn??Cn（n=1、2、3??） 这与二项式定理有密切的联系： (a+b)=Ca

n

212n0nn

1+Cnab

n-11

r+?+Cn1+Cnab

2nn-rr

n+?+Cnnnbn（n?N*）

在其中令a=b=1

0则 Cn+C+?+C=2n

所以，可推出杨辉三角形的第n行的系数和为2n。 3.总项数:在杨辉三角形的n行及以上，总的项数K=4.通项公式: 令C

mn12(n+1)(n+2)

表示第几行第(m+1)个数，则这个数的系数为

mCn=

n!m!(n?m)!

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所以这个数为M= Cn·ab=5.最大值：

mn-mm

n!an?mbmm!(n?m)!

在杨辉三角的第几行中（m?N*）,当 n=2m， Km= Cn当n=2m+1，Km=Cn(n-1)/2n/2，即中间的一项

，或Km= Cn(n?1)/2，即中间的两项。

以上是我们查阅的资料，再来看看我们自己的发现。

如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，便又会出现一种奇特的现象，所有的偶数都会呈现出倒立的等边三角形状排列，而奇数都成正立三角形排列，且等边三角形（偶数）的边长依次为：

3、7、15、31、63??

经过反复思考比对，我们又发出现了其中的规律即：

234

3=2-1 7=2-1 15=2-1 31=25-1 即所有的偶数依次排出以（2n-1）（n?N*）的

B A 图 5.1

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长度为边长的倒立的等边三角形。

以上种种的性质都向我们展示了杨辉三角独特的魅力，那么，它在解题中有哪些运用呢？

例：如图5.1，有一只猫在A点，它要跑到老鼠所在的B点，要求它只能向上或向右跑，问有几种跑法。

如图，本题的背景正是著名的杨辉三角形，只需以A点为顶点，依次排出杨辉三角，容易解得共有35种走法。

这是信息学中典型的有向图的问题，或许信息学的朋友对信息题的数学解法并不陌生，但想不到还可以用杨辉三角解有向图吧！

以上的例子还有很多很多，这里就不一一列举了，这也已经足以反映杨辉三角的魅力

b (b 3) 1 (b 2) 1 (b 1) 1 (b) 1 (a 0) 01 4 3 10 23 20 33 (ab) (ab) (ab) 3 2 6 22 10 32 (ab) (ab) (ab) 2 3 2 4 (ab) (ab) (a3b) 1 1(a) 1 2(a) 04 3 2 1 10 6 3 1 20 10 4 1 35 B 15 5 1 1 1 1 a A

1 3(a) 11 4(a) 2图 5.2

3(a+b) (a+b) (a+b) (a+b) 图 2.1

之所在了。

二、二维直角坐标系中的杨辉三角

为了研究方便，我借鉴平面直角坐标系将杨辉三角放了进去。正如图所示，在平面直角坐标系里，杨辉三角成了直角三角形了。且它还具有一个特点，就是这个平面直角坐标系是由两个直角坐标系重叠而成的。

1 1 1 1 1 5 4 3 2 1

15 10 6 3 1

35 20 10 4 1

70 35 15 5 1

126 56 21 6 1

b4 b3 b2 b1 b0

ab4 ab3 ab2 ab a1 a2b4 a2b3 a2b2 a2b a2

a3b4 a4b4 43a3b3 ab 42a3b2 ab a5b4 a5b3 a5b2 a5b a5

a3b a3

a4b a4

图 7.1

图 7.2

一边是杨辉三角的系数的坐标系，另一边是a、b各项的次数的坐标系，当两者合并

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成为新的杨辉三角形时，一切的运算与规律都已经系统化了，沿着经过整点的斜率为-1的

线，我们轻易地可以找到(a+b)n

的系数与项数，这也就是坐标系，系统化的杨辉三角，二项式定理。

既然是在平面直角坐标系中（这里只考虑整点），点与坐标就会有一一对应的关系，这其中就必然有规律，经过我们的推理，得出了杨辉三角的平面公式。

∵本来杨辉三角第n行0、1、2、?m?n+1各数 则第(m+1)个数Pmm=Cn, 当呈直角坐标系时 x=n-m m=y y

y=m n=x+y

P=Cx?y 这就系统地表达了杨辉三角的内含，这更有助于我们研究其规律，及研究二项式的展开项。

三、三维直角坐标系中的杨辉三角

当研究了二维直角坐标系中的杨辉三角后，就很自然地想到三维直角坐标系，我们完全可以将3个二维直角坐标系中的杨辉三角放在一起，组成三维直角坐标系中的杨辉三角。

Z (c) 1 5 15 35 70 5 15 35 1 4 10 70 20 35 10 4 20 1 35 12 3 6 10 15 6 3 10 1 2 3 4 5 15 2 6 12 3 4 1 12 1 1 1 1 5 1 2 3 4 5 Y (b) 1 6 1 10 15 4 3 10 20 35 X (a) 1 5 15 35 70 图 8.1

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