高等代数试题(7)

1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律． 2．在F[x]中，定义

?：f (x) ? f’(x) ， ?：f (x) ? xf (x) ，

这里f’(x)表示f(x)的导数．证明, ?,?都是F[x]的线性变换，并且对于任意正整数n都有

?n?– ??n = n?n-1

3．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换?来说，下列三个条件是等价的：

（i）?是满射； (ii)Ker(?) = {0}; (iii) ?非奇异． 当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？

4．设??L (V)，??V，并且?，?(?)，?，?= 0．证明：

k-1

(?)都不等于零，但?k(?)

?，?(?)，?，?k-1(?)

线性无关．

5．??L (V) ．证明

(1) Im(?)?Ker(?)当且仅当 ?2 = ?； (2) Ker(?)?Ker(?2)?Ker(?3)??； (3) Im(?)?Im(?2)?Im(?3)??．

6．设Fn = { (x1，x2 ，?，xn ) | xi?F }是数域F上n 维行空间．定义

?(x1，x2 ，?，xn ) = (0，x1 ，?，xn-1 ) ．

(i) 证明：?是Fn的一个线性变换，且 ?n = ?； (ii) 求Ker(?)和Im(?) 的维数． §7.3 线性变换和矩阵

1．令Fn[x]表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，

?：f (x) ? f’(x) ，求关于以下两个基的矩阵：

(1) 1，x ，x2 ，?，xn，

(x?c)2(x?c)n(2) 1，x–c，2!，?，n!，c?F．

2．设F上三维向量空间的线性变换?关于基 {?1 ，?2，?3}的矩阵是

?15?115???20?158???8?76???

求?关于基

?1 = 2?1 +3?2 +?3， ?2 = 3?1 +4?2 +?3， ?3 = ?1 +2?2 +2?3，

的矩阵．

设?= 2?1 +?2–?3．求?(?)关于基?1，?2，?3的坐标． 3．设{?1，?2，?，?n}是n维向量空间V的一个基．

?j =

?a?iji?1ni，?j=

?b?iji?1ni， j = 1，2，?，n，

并且?1 ，?2，?，?n线性无关．又设?是V的一个线性变换，使得?(?j) =

?j，j = 1，2，?，n，求?关于基?1，?2，?，?n的矩阵．

4．设A，B是n阶矩阵，且A可逆，证明，AB与BA相似．

5．设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 0．

6．证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换?是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要?关于V的任意基的矩阵都相等．

7．令Mn (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵A?Mn (F) ．对任意X?Mn (F)，定义

?(X) = AX–XA．

由7.1习题3知?是Mn (F)的一个线性变换，设

?a1?????0A =?

a20??????an??

是一个对角形矩阵．证明，?关于Mn (F)的标准基{Eij |1?i,j?n}(见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切ai–aj (1?i,j?n).[建议先具体计算一下n = 3的情形．]

8．设?是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，总可以如此选取V的两个基{?1 ，?2，?，?n}和{?1，?2，?，?n}，使得对于V的任意

?向量?来说，如果?=i?1§7.4 不变子空间

nxi?i?，则?(?) =i?1rxi?i，这里0?r?n是一个定数[提

示：利用7.1，习题5选取基?1 ，?2，?，?n ．]

1．设?是有限维向量空间V的一个线性变换，而W是?的一个不变子空间，证明，如果?有逆变换，那么W也在?-1之下不变．

2．设?,?是向量空间V的线性变换，且?????．证明Im(?)和Ker(?)都在?之下不变．

3．?是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件?2 =?．证明： (i) Ker(?) = {???(?)|??V}； (ii)V = Ker(?)?Im(?)；

(iii)如果?是V的一个线性变换，那么Ker(?)和Im(?)都在?之下不变的充要条件是?????．

4．设?是向量空间V的一个位似（即单位变换的一个标量倍）．证明，V的每一个子空间都在?之下不变．

5．令S是数域F上向量空间V的一些线性变换所成的集合．V的一个子空间W如果在S中每一线性变换之下不变，那么就说W是S的一个不变子空间．S说是不可约的，如果S在V中没有非平凡的不变子空间，设S不可约，而?是V的一个线性变换，它与S中每一线性变换可交换。证明?或者是零变换，或者是可逆变换．[提示：令W = Ker?.证明W是要的一个不变子空间．] §7.5 本征值和本征向量

1．求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量：

?3?20?????13?1???57?1??； (ii) (i) ??4?57????1?49???405???；(iii) 66??3??20??0??3?12?6???．

2．证明：对角形矩阵

?a1?????0?a20??b10????b2?????????????bn?an?与?0?

相似必要且只要b1，b2，?，bn是a1，a2，?，an的一个排列．

3．设

?ab???cd???? A =

是一个实矩阵且ad–bc = 1 ．证明：

(i) 如果| trA |>2，那么存在可逆实矩阵T，使得

??0???0??1??-1

?． TAT = ?这里??R且??0，1，-1．

(ii) 如果| trA | = 2且A??I，那么存在可逆实矩阵T，使得

?11???11???01????0?1??-1

?或??.． TAT = ?

(iii) 如果| trA | < 2则存在可逆实矩阵T及??R，使得

?cos????sin?-1

TAT = ?sin???cos???．

???，??=1.将?写成三角形式．令[提示] 在(iii)，A有非实共轭复特征根?，??C是A的属于?的一个特征向量，计算A(???)和A(i(???))．

4．设a，b，c?C．令

?bca??cab??abc???????cababcbca???????abc??bca??cab??????． A=，B=，C=?

2??

(i) 证明，A，B，C彼此相似；

(ii) 如果BC=CB，那么A，B，C的特征根至少有两个等于零． 5．设A是复数域C上一个n阶矩阵． (i) 证明：存在C上n阶可逆矩阵T使得

??1??0????T-1AT =?0?b1n??b22?b2n??????bn2?bnn??． b12(ii) 对n作数学归纳法证明，复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵

??1*??0?2?????00?*???*???????n?? ?相似，这里主对角线以下的元素都是零．

6．设A是复数域C上一个n阶矩阵，?1,?2,?,?n是A的全部特征根（重根按重数计算）．

(i) 如果f (x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f (?1),f(?2),?f(?n)是f(A)的全部特征根．

?1?1?1?1-1??0,i?1,2,?,n?,?,?,??i123n是A的全(ii) 如果A可逆，那么，并且

部特征根

7．令

?0100?0???0010?0?????????????0000?1??1000?0?? A = ?是一个n阶矩阵。

23n?1(i) 计算A,A,?,A．

(ii) 求A的全部特征根．

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