高等代数试题(3)

12?i?3423413412141;231111234?ii?;1361014102014916491625;9162536162536490a21?a2?00???00b00a3?000b0??0000?iii?1a1?11?a1?iv?0?000a0?1?0000a?00;????1?an?1an??11?anb00a00?v??00b??????;(2n阶)0b?a00b0?0a000?00aa3a3??anan?vi?1?a1a2a11?a2a1?1a1012a2?a21011?a3?an;???a3?1?an210321?n?1?n?2?n?3;?0

?vii??????n?1n?2n?3n?4?

1?a1?1a21?a2?1?000a3??000??1000?an1?an?viii?0?001?a3???00??1?an?1

提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。

3．令

fi(x)?aioxi?ai1xi?1???ai,i?1x?aii.

f0(x1)f1(x1)?f0(x2)f1(x2)????f0(xn)f1(xn)?fn?1(xn)。

计算行列式fn?1(x1)§2.4 克拉默规则

fn?1(x2)?1．解以下线性方程组：

?i?x1?x2?2x3?3x4?1,3x1?x2?x3?2x4??4,2x1?3x2?x3?x4??6,x1?2x2?3x3?x4??4.(ii)x1?x2?x3?x4?0,x2?x3?x4?x5?0,x1?2x2?3x3?2,x2?2x3?3x4??2,x3?2x4?3x5?2.

2．设a1,a2,?,an?1是n?1个不同的数, b1,b2,?,bn?1是任意n?1个数,而多项式

f(x)?c0?c1x???cnxn

有以下性质: f(ai)?bi,i?1,2,?,n?1.用线性方程组的理论证明, f(x)的系数

c0,c1,?,cn是唯一确定的,并且对n?2的情形导出拉格朗日插值公式.

nf(x)?c?cx???cx01n3．设.用线性方程组的理论证明,若是f(x)有n?1个不同的根,那么f(x)是零多项式.

第三章 线性方程组

§3.1 消元法

1．解以下线性方程组：

(i)x1?2x2?x3?x4?1,x1?2x2?x3?x4??1,x1?2x2?x3?x4?5;(ii)2x1?x2?3x3?3,3x1?x2?5x3?0,4x1?x2?x3?3,x1?3x2?13x3??6.

2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。

a11a21D??a12a22??a1n?a2n??3．设n阶行列式

an1an2?ann?0.

?a11??a21????a证明：用行初等变换能把n行n列矩阵?n1a12a22?an2?a1n???a2n??????ann??化为

?10?0???01?0??n行n列矩阵?????????00?1???。

4．证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把n行n列矩阵

?a11??a21????a?n1a12a22????an2??10?00???a1n?01?00???a2n?n行n列矩阵????????????00?10???00?0D?ann??化为??．

§3.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法

1．对第一和第二种行初等变换证明定理4.2.1． 2．利用初等变换求下列矩阵的秩：

?21112??1????104?1??1?114565?;.?1????2?15?6??1???12342537495117??10?13??16??

3．证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1． 4．证明：含有n个未知量n?1个方程的线性方程组

a11x1???a1nxn?b1,?????????an1x1???annxn?bn,an?1,1x1???an?1,nxn?bn?1

有解的必要条件是行列式

a11?an1???a1n?annb1?bnbn?1?0.an?1,1?an?1,n

这个条件不是充分的，试举一反例．

方程组 5．?取怎样的数值时，线性?x1?x2?2x3?3x4?2,?2x1?3x2?2x3?x4??1,?3x1?x2?2x3?x4??1,

有解？

6．?取怎样的数值时，线性方程组

?x1?x2?x3?1,x1??x2?x3??,x1?x2??x3??2

有唯一解，没有解，有无穷多解？ §3.3 线性方程组的公式解

1．考虑线性方程组：

x1?x2?a1,x3?x4?a2,x1?x3?b1, x2?x4?b2,

，并且它的系数矩阵的秩是3． 这里a1?a2?b1?b2.证明：这个方程组有解组：2．用公式解法解线性方程

x1?2x2?x3?x4?1,x1?2x2?x3?x4??1,x1?2x2?x3?5x4?5.

3．设线性方程组：

a11x1?a12x2???a1nxn?b1,a21x1?a22x2???a2nxn?b2,?????????????（9） am1x1?am2x2???amnxn?bm, 有解，并且添加一个方程：

a1x1?a2x2???anxn?b,

于方程组（9）所得的方程组与（9）同解．证明：添加的方程是（9）中m个方程的结果．

4．设齐次线性方程组

a11x1?a12x2???a1nxn?0,a21x1?a22x2???a2nxn?0,????????????an1x1?an2x2???annxn?0

的系数行列式D?0，而D中某一元素aij的代数余子式Aij?0．证明：这个方程

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