高等代数试题

第一章 多项式

§1.1一元多项式的定义和运算

1．设f(x),g(x)和h(x)是实数域上的多项式．证明：若是

222f(x)?xg(x)?xh(x)(6) ，

那么f(x)?g(x)?h(x)?0.

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式f(x),g(x)和h(x). 3．证明：

1?x?x(x?1)x(x?1)...(x?n?1)???(?1)n2!n!(x?1)...(x?n)?(?1)nn!

§1.2 多项式的整除性

1．求f(x)被g(x)除所得的商式和余式：

432f(x)?x?4x?1,g(x)?x?3x?1; ( i )

5323(ii) f(x)?x?x?3x?1,g(x)?x?3x?2; k2．证明：x|f(x)必要且只要x|f(x).

3．令f1(x),f2?x?,g1?x?,g2?x?都是数域F上的多项式，其中f1?x??0且

g1?x?g2?x?|f1?x?f2?x?,f1?x?|g1?x?.证明：g2?x?|f2?x?.

42m,p,qxx?mx?14．实数满足什么条件时多项式能够整除多项式?px?q. nn5．设F是一个数域，a?F.证明：x?a整除x?a.

6．考虑有理数域上多项式

f?x???x?1?k?n??2x??x?1?k?n?1????2x??x?1?,

kn这里k和n都是非负整数．证明：

xk?1|?x?1?f?x???x?1?nd7．证明：x?1整除x?1必要且只要d整除n.

k?n?1.

§1.3 多项式的最大公因式

1. 计算以下各组多项式的最大公因式：

43232( i ) f?x??x?3x?x?4x?3,g?x??3x?10x?2x?3;

4322(ii) f?x??x?(2?2i)x?(2?4i)x?(?1?2i)x?1?i,g?x??x?(1?2i)x?1?i.

2. 设f?x??d?x?f1?x?,g?x??d?x?g1?x?.证明：若(f?x?,g?x?)?d?x?,且f?x?和

g?x?不全为零，则(f1?x?,g1?x?)?1;反之，若(f1?x?,g1?x?)?1,则d?x?是f?x?与g?x?的一个最大公因式．

3. 令f?x?与g?x?是F[x]的多项式，而a,b,c,d是F中的数，并且

ad?bc?0

证明：

(af?x??bg?x?,cf?x??dg?x?)?(f?x?,g?x?).

4． 证明：

（i）(f,g)h是fh和gh的最大公因式； （ii）(f1,g1)(f2,g2)?(f1f2,f1g2,g1f2,g1g2), 此处f,g,h等都是F[x]的多项式。

4324325． 设f?x??x?2x?x?4x?2,g?x??x?x?x?2x?2都是有理数域

Q上的多项式。求u?x?,v?x??Q[x]使得

f?x?u?x??g?x?v?x??(f?x?,g?x?).

6． 设(f,g)?1,令n是任意正整数，证明：(f,gn)?1由此进一步证明，对于任意正整数m,n，都有(fm,gn)?1.

7． 设(f,g)?1证明：

(f,f?g)?(g,f?g)?(fg,f?g)?1.

8． 证明：对于任意正整数n都有(f,g)n?(fn,gn).

9． 证明：若是f(x)与g(x)互素，并且f(x)与g(x)的次数都大于0，那么

v(x)定理2.3.3里的u(x)与v(x)可以如此选取，使得u(x)的次数低于g(x)的次数，

的次数低于f(x)的次数，并且这样的u(x)与v(x)是唯一的。

2210． 决定k，使x?(k?6)x?4k?2与x?(k?2)x?2k的最大公因式是一

次的。

11． 证明：如果(f(x),g(x))?1那么对于任意正整数m，

?f?x?,g?x???1

mm12． 设f(x),g(x)是数域P上的多项式,f(x)与g(x)的最小公倍式指的是

P[x]中满足以下条件的一个多项式m(x)：

?a?f(x)|m(x)且g(x)|m(x)；

?b? 如果h(x)?P[x]且f(x)|h(x),g(x)|h(x)，那么m(x)|h(x).

?i? 证明：P[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式

的差别外，是唯一的。

?ii? 设f(x),g(x)都是最高次项系数是

1的多项式，令?f(x),g(x)?表示f(x)和

g(x)的最高次项系数是1的那个最小公倍式,证明

f?x?g?x???f?x?,g?x???f?x?,g?x??

13． 设g(x)|f1(x)?fn(x)并且(g(x),fi(x))?1,i?1,2,?,n?1证明：

g(x)|fn(x).

14． 设f1(x),f2(x),?,fn(x)?P[x]证明：

?i??f1?x?,f2?x?,?fn?x?????f1?x?,f2?x?,?fk?x??,?fk?1?x?,?,fn?x???,1?k?n?1. ?ii?f1(x),f2(x),?,fn(x)互素的充要条件是存在多项式

u1(x),u2(x),?,un(x)?P[x] 使得

f1?x?u1?x??f2?x?u2?x???fn?x?un?x??1

15． 设f1(x),?,fn(x)?P[x],令

I??f1?x?g1?x???fn?x?gn?x?gi?x??F[x],1?i?n?.

比照定理1.4.2，证明：f1(x),?,fn(x)有最大公因式．[提示：如果f1(x),?,fn(x)不全为零，取d(x)是I中次数最低的一个多项式，则d(x)就是f1(x),?,fn(x)的一个最大公因式．] §1.4 多项式的分解

1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：

?i? 3x2?1; ?ii?x3?2x2?2x?1.

42. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式x?1为不可约因式的乘

积.

3. 证明： g2(x)|f2(x)当且仅当g(x)|f(x). 4.

?i? 求 f?x??x5?x4?2x3?2x2?x?1在Q[x]内的典型分解式；

?ii? 求f?x??2x5?10x4?16x3?16x2?14x?6在R[x]内的典型分解式

5.证明：数域P上一个次数大于零的多项式f(x)是P[x]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意g(x)?P[x],或者(f(x),g(x))?1,或者存在一个正整数m使得f(x)|gm(x).

6．设p(x)是P[x]中一个次数大于零的多项式.如果对于任意

f(x),g(x)?F[x]只要p(x)|f(x)g(x)就有p(x)|f(x)或p(x)|g(x)那么p(x)不可

约.

§1.5 重因式

1. 证明下列关于多项式的导数的公式：

?i? ?f?x??g?x????f??x??g??x?;

?ii? ?f?x?g?x????f??x?g?x??f?x?g??x?.

2. 设p(x)是f(x)的导数f?(x)的k?1重因式.证明：

?i?

p(x)未必是f(x)的k重因式；

p(x)是f(x)的k重因式的充分且必要条件是p(x)|f(x).

?ii?

3. 证明有理系数多项式

x2xnf?x??1?x???2!n!

没有重因式.

4.a,b应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？

?i? x3?3ax?b;

?ii? x4?4ax?b.

5. 证明：数域P上的一个n次多项式f(x)能被它的导数整除的充分且必要

条件是

f?x??a?x?b?，

n这里的a,b是P中的数

§1.6 多项式函数 多项式的根

5431．设f(x)?2x?3x?5x?1,求

f(3),f(?2).

2．数环R的一个数c说是f(x)?R[x]的一个k重根,如果f(x)可以被(x?c)k整除,但不能被(x?c)k?1整除.判断5是不是多项式

f(x)?3x5?224x3?742x2?5x?50

的根.如果是的话,是几重根?

32323．设2x?x?3x?5?a(x?2)?b(x?2)?c(x?2)?d

求a,b,c,d [提示:应用综合除法．]

4．将下列多项式f(x)表成x?a的多项式.

(i)f(x)?x5,a?1;

(ii)f(x)?x4?2x2?3,a??2.

5．求一个次数小于4的多项式f(x),使

f(2)?3,f(3)??1,f(4)?0,f(5)?2

6．求一个2次多项式,使它在x?0,?2,?处与函数sinx有相同的值.

27．令f(x),g(x)是两个多项式,并且f(x3)?g(x3)可以被x?x?1整除.

证明

f(1)?g(1)?0.

8．令c是一个复数,并且是Q[x]中一个非零多项式的根,令

J?{f(x)?Q[x]|f(c)?0}

证明:(i)在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式p(x),使得J中每一多项式

f(x)都可以写成p(x)q(x)的形式,这里q(x)?Q[x]. (ii)p(x)在Q[x]中不可约.

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