高三物理一轮复习精品教案：第5章 万有引力定律 人造地球卫星(3)

较普遍的，如果两颗星的质量相差悬殊，如m＜＜M，则r=L，R=O，T?2?以把大质量星看作静止的，小质量星围绕大质量星运动。

l3GM，这是可

【例题】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

★解析：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得M1：

G

2?M1M2＝M1（）2 l1 2TR∴M2＝

4?Rl1GT222

对M2：G

2?M1M2＝M2（）2 l2 2TR224?Rl2∴M1＝

2GT两式相加得 M1＋M2＝

4?RGT222（l1＋l2）＝

4?RGT223。

【例题】在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1=2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示。此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为（ ）

r1 r2 m1 m2 A．1∶1 C．2∶1

B．1∶2 D．1∶2

★解析：两球向心力、角速度均相等，由公式 F=mω2r 得r∝答案：D

【例题】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一

1m，则

r1r2=

m2m1=

12。

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种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；

（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ ★解析：

类型题： 人造卫星的一组问题 【例题】“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行 “轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是

A．动能、重力势能和机械能都逐渐减小

B．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变 C．重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变 D．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小

★解析：由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动。由于摩擦阻力做负功，根据机械能定理，卫星的机械能减小；由于重力做正功，根据势能定理，卫星的重力势能减小；由v?GMr?1r可知，卫星动能将增大。这也说明该过程中

重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的总功为正。答案选D

【例题】 如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火

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加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用小于号将它们排列起来______。

Q v3 v1 v4 P v2 ★解析：根据题意在P、Q两点点火加速过程中，卫星速度将增大，所以有v2>v1、v4>v3，而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由于它们对应的轨道半径r1< r4，所以v1>v4。把以上不等式连接起来，可得到结论：v2>v1>v4>v3。（卫星沿椭圆轨道由P→Q运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v2>v3。）

【例题】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点。轨道2、3相切于P点（如图），则当卫星分别在1，2，3，轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）

P 1 2 3 Q A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道１上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道１上的角速度

C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度

★解析：从动力学的角度思考，卫星受到的引力使卫星产生运动的加速度（Fn?man），所以卫星在轨道１上经过Ｑ点时的加速度等于它在轨道２上经过Ｑ点时的加速度，卫星在轨道２上经过Ｐ点时的加速度等于它在轨道３上经过Ｐ点时的加速度。必须注意，如果从运动学的角度思考（an?v2r??r），由于卫星在不同的轨道上经过相同点时，不但线速度、角

2速度不同，而且轨道半径（曲率半径）不同，所以不能做出判断。案：B、D

【例题】 欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星。该卫星发射前在赤道附近（北纬5°左右）南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上等待发射时为1状态，发射到近地轨道上做匀速圆周运动时为2状态，最后通过转移、调试，定点在地球同步轨道上时为3状态。将下列物理量按从小到大的顺序用不等号排列：①这三个状态下卫星的线速度大小______；

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②向心加速度大小______；③周期大小______。

★解析：①比较2、3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为r2

类型题： 卫星的追及问题 【例题】如右图所示，有A、B两个行星绕同一恒星O做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距离最近），则（ BD ）。

A．经过时间t=T2+T1，两行星将第二次相遇 B．经过时间t?Ｃ．经过时间t?D．经过时间t?T1T2T2?T1，两行星将第二次相遇

TT2122，两行星第一次相距最远 ?T1?T1T1?T22,两行星第一次相距最远

【例题】A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道

半径为r1，B的轨道半径为r2，已知恒星质量为m?，恒星对行星的引力远大于得星间的引力，两行星的轨道半径r1＜r2。若在某一时刻两行星相距最近，试求：

（1）再经过多少时间两行星距离又最近？ （2）再经过多少时间两行星距离最远？

★解析：（1）A、B两行星如右图所示位置时距离最近，这时A、B与恒星在同一条圆半径上，A、B运动方向相同，A更靠近恒星，A的转动角度大、周期短，如果经过时间t，A、B与恒星连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则A、B与恒星又位于同一条圆半径上，距离最近。

解：（1）设A、B的角速度分别为ω1、ω2，经过时间t，A转过的角度为ω1t，B转过的角度为ω2t。A、B距离最近的条件是： ω1t-ω2t=n?2?(n?1,2,3?)。 恒星对行星的引力提供向心力，则：

Gm?mr2?mr?,即??Gm?3r12Gm?r3，

Gm?r23由得得出：?1?

，?2?，

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求得：t?2?nGm??3r1Gm?3r2(n?1,2,3?)。

（2）如果经过时间t?，A、B转过的角度相差π的奇数倍时，则A、B相距最远，即

?1t???2t??(2k?1)?(k?1,2,3?)。

故t??(2k?1)??1??2。把ω1、ω2代入得：

t?(2k?1)?Gm??3r1Gm?3r2(k?1,2,3?)

点评：太阳系有九大行星，它们之间有相对运动，如要知道哈雷彗星下次光顾地球是什么时间，就要分析两运动间的角速度关系，本题关键是正确写出两行星相距离最近和相距最远的条件。

类型题： 数学知识的运用 物理是以数学为基础的。合理运用数学知识，可以使问题简化。甚至在有的问题中，数学知识起关键作用。

1．用比值法求解有关问题

【例题】假设火星和地球都是球体，火星的质量为M火和地球质量M地之比M火／M地＝p，火星半径R火和地球半径R地之比R火／R地＝q，那么火星表面重力加速度g火和地球表面重力加速度g地之比为（ A ）

A．

pq2 B．pq2

C．

pq D．pq

2．割补法的运用

【例题】如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体中心2R处，有一质量为m的质点，M对m的万有引力的大小为F。现从M中挖出一半径为r的球体，如图，OO′=R/2。求M中剩下的部分对m的万有引力的大小。

o′ r

★解析：根据万有引力定律，F?GMm(2R)2o m

，挖去的球体原来对质点m的引力为

F??M?m(1.5R)2，而

MM??Rr33。所以剩下的部分对质点m的引力为

F?F??9R?16r9R333F。

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