高三物理一轮复习精品教案：第5章 万有引力定律 人造地球卫星(2)

而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。

这是因为：不是赤道上方的某一轨道上跟着地球的自转同步地作匀速圆运动，卫星的向心力为地球对它引力的一个分力F1，而另一个分力F2的作用将使其运行轨道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。

（2）地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。 （3）同步卫星必位于赤道上方h处，且h是一定的． GMmr23?m?r2

GM得r??2故 h?r?R?35800km

（4）地球同步卫星的线速度：环绕速度 由GMmr2?m?2r得v?GMr

?3.08km/s（5）运行方向一定自西向东运行 人造天体在运动过程中的能量关系

当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。反之，如果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。

同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。其中卫星的动能为EK?GMm2r，由于重

力加速度g随高度增大而减小，所以重力势能不能再用Ek=mgh计算，而要用到公式

EP??GMmr（以无穷远处引力势能为零，M为地球质量，m为卫星质量，r为卫星轨道半径。

由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。）因此机械能为

E??GMm2r。同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发

射越困难。

『题型解析』

类型题： 万有引力定律的直接应用

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【例题】下列关于万有引力公式F?Gm1m2r2的说法中正确的是（C）

A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B．当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D．公式中万有引力常量G的值是牛顿规定的

【例题】设想把质量为m的物体，放到地球的中心，地球的质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是（C）

A．

GMmR2

B．无穷大 D．无法确定

C．零

【例题】设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较

A．地球与月球间的万有引力将变大 B．地球与月球间的万有引力将减小 C．月球绕地球运动的周期将变长 D．月球绕地球运动的周期将变短

★解析：设地球和月球的质量分别为M、m，它们之间的引力为F?GMmr2

，由于地球和

月球Ｍ＋m是一常数，根据数学知识，当Ｍ＝m时，Ｍ·m取最大值，Ｍ、m相差越多，Ｍ·m越小，F?GMmr2越小。地球比月球的质量大，还要把月球上的矿藏搬运到地球上，就使得

Ｍ，m相差更多，所以Ｍ·m就越小，F?G

Mmr2越小。答案：B、D

类型题： 重力加速度g随离高度h变化情况 表面重力加速度：

?GMmR2?mg0?g0?GMR2

轨道重力加速度：

?GMm?mg?gh?GM?R?h?2h?R?h?2

【例题】设地球表面的重力加速度为g，物体在距地心4R（R是地球半径）处，由于地球

，，

的引力作用而产生的重力加速度g，则g/g为（D）

A、1； B、1/9； C、1/4； D、1/16。

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★解析：因为g= G

MR2，g， = G

M(R?3R)2，所以g/g，=1/16，即D选项正确。

11012【例题】火星的质量和半径分别约为地球的表面的重力加速度约为（B）

(A)0.2 g (C)2.5 g

(B)0.4 g (D)5 g

和，地球表面的重力加速度为g，则火星

类型题： 用万有引力定律求天体的质量和密度 通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。

由GMmr24?r?2?? 得 M??m?r?2GT?T?3?r233223又M?43?R?? 得??3GTR

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【例题】已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49?10m， 公转的周期T=3.16?10s，求太阳的质量M。

★解析：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得： GMmr2?2???m??r

T??232M?4?rGT2=1.96 ?1030kg

【例题】宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。

★解析：设抛出点的高度为h，

2L?H22?3L?h22 可得h

设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：

h?12gt可得g

2由万有引力定律与牛顿第二定律得：

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mg?GMmR2

2联立以上各式解得M?23LR3Gt2。

【例题】某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运动，若要计算行星的密度，唯一要测量出的物理是（ D ）

A：行星的半径 B：卫星的半径 C：卫星运行的线速度 D：卫星运行的周期

【例题】如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?

★解析：设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速圆周运动，则有 G

MmR2=mR

4?T22， 所以，M=

4?RGT223而恒星的体积V=

43πR3，所以恒星的密度ρ=

MV=

3?GT2。

【例题】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=

130s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转

而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.67?10?11m3/kg·s2)

★解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

设中子星的密度为?，质量为M ，半径为R，自转角速度为?，位于赤道处的小物块质量为m，则有

GMmR2?m?R ??22?T M?433?R?

由以上各式得??3?GT2，

143代入数据解得：??1.27?10kg/m。

类型题： 双星问题 宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。

⑴由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。

⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由

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F=mωr可得r2

?1m，于是有r1?m2m1?m2L,r2?m1m1?m2L

ω m1 r1 O r2 m2

⑶列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆

【例题】在天文学中，把两颗相距较近的恒星叫双星，已知两恒星的质量分别为m和M，两星之间的距离为L，两恒星分别围绕共同的圆心作匀速圆周运动，如图所示，求恒星运动的半径和周期。

M o m ★解析：两颗恒星在万有引力作用下围绕共同点O(物理学上把它叫做质心)作匀速圆周运动，O点在两颗恒星的连线上，设两颗星到O的距离分别为r、R，它们运动的周期为T，由万有引力定律和牛顿第二定律

对质量为m的恒星有GMml2?2???m??r

T???2???M??R

?T?22对质量为M的恒星有Gr+R=L

由以上三式解得 r?l3Mml2MM?ml R?mM?ml

T?2?(M?m)GMM?m

mM?m答案：r?l R?l

T?2?l3(M?m)G

技巧点拔：解圆周运动问题，确定圆心的位置是很重要的。另外，双星系统在宇宙中是比

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