【导与练】2010-2012年高考数学 试题汇编 第五节 二次函数、函数(3)

(1)求炮的最大射程;

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

解:(1)令y=0,得kx-(1+k)x=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,

2

2

故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.

所以炮的最大射程为10千米.

(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标?存在k>0,使3.2=ka-(1+k)a成立?关于k的方程ak-20ak+a+64=0有正根?判别式Δ=(-20a)-4a(a+64)≥0?a≤6. 所以当a不超过6千米时,可击中目标.

本题把函数、不等式放在应用题中,设计新颖,考法独特.

17.(2012年湖南卷,理20,13分)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;

(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.

解:(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有 T1(x)=

=

,T2(x)=

,

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2

2

2

2

2

2

T3(x)=,

其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.

(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为{x|0

,x∈N},

*

易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数,注意到T2(x)=T1(x),于是 ①当k=2时,T1(x)=T2(x),此时

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f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{,}.

由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当=时f(x)取得最小值,解得x=.由于44<<45,

而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)

且最短时间为f(44)=.

②当k>2时,T1(x)>T2(x),由于k为正整数, 故k≥3,此时

≥

=

.

记T(x)=

, ? (x)=max{T1(x),T(x)},

易知T(x)是增函数,则

f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)} =? (x)=max{

,

}.

由函数T1(x),T(x)的单调性知, 当

=

时? (x)取最小值,

解得x=.由于36<

<37,而? (36)=T1(36)=

>

, 此时完成订单任务的最短时间大于.

③当k<2时,T1(x)

,

}.

(37)=T(37)=

>.

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?

由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当=时f(x)取最小值,解得x=,类似(1)的讨论,此

时完成订单任务的最短时间为,大于.

综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.

18.(2011年湖北卷,理17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下.大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.

(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;

(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时) 解:(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;

当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b(a≠0,a、b为常数), 再由已知得

解得

故函数v(x)的表达式为 v(x)=

(2)依题意并由(1)可得 f(x)=

当0≤x<20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200; 当20≤x≤200时, f(x)=x(200-x)≤[

]=

2

,

当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.

所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值

.

综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333,

即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时.

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19.(2011年湖南卷,理20)如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为;(2)其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离

d=100,面积S=时,

(1)写出y的表达式;

(2)设0

y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).

(2)由(1)知,

当0

-15;

当c

故y=

当0

当

时,ymin=.

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(2011年浙江卷,理10)设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)(x+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx+bx+1).记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R},若|S|,|T|分别为集合S,T的元素个数,则下列结论不可能的是( ) (A)|S|=1且|T|=0 (B)|S|=1且|T|=1 (C)|S|=2且|T|=2 (D)|S|=2且|T|=3

难题特色:本题看似集合问题,实则研究方程根的个数问题,由于两个方程都是三次方程,且方程中都含有a,b,c三个参数,导致考生无法对给出的结论进行真假判断.

难点突破:(1)合理采用选择题的解法,对各个结论逐一进行分析判断;(2)通过对参数a,b,c取特殊值,帮助分析根的情况,对结论作出判断.

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解析:当|S|=1时,由f(x)=(x+a)(x+bx+c)=0得b-4c<0,且根为x=-a.

2

当a=0时,g(x)=(ax+1)(cx+bx+1)=0无根,|T|=0,∴A可能成立.

当a≠0时,g(x)=(ax+1)(cx+bx+1)=0有一根为x=-,|T|=1,∴B可能成立.

当|S|=2时,不妨取a=1,b=c=4,f(x)=(x+a)(x+bx+c)=(x+1)(x+4x+4)=0,有两根为-1或-2. 而g(x)=(ax+1)(cx+bx+1)=(x+1)(4x+4x+1)=0,有两根为-1或-,|T|=2,∴C可能成立.

2

2

2

2

2

2

2

若|T|=3,则有

2

2

由b-4c>0知方程x+bx+c=0有两个不等的实根.

由-+1≠0知,a-ab+c≠0,即-a不是方程x+bx+c=0的根,∴|S|=3,D不正确.故选D.

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