专题整理(2)

解：(1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE (2)①证△ABC∽△ADE． ∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC， 即∠BAC=∠DAE 又∵∠ABC=∠ADE， ∴△ABC∽△ADE． ②证△ABD∽△ACE． ∵△ABC∽△ADE，

ABAC?AE ∴AD又∵∠BAD=∠CAE，

∴△ABD∽△ACE

(2010年滨州)15．如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点

M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为

【答案】152

17.（2010日照市）

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证： （1）D是BC的中点；

（2）△BEC∽△ADC； （3）BC2=2AB·CE．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ， 即AD是底边BC上的高．

又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ∴D是BC的中点

(2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角， ∴ ∠CBE=∠CAD． 又∵ ∠BCE=∠ACD， ∴△BEC∽△ADC； （3）证明：由△BEC∽△ADC，知即CD·BC=AC·CE． ∵D是BC的中点，∴CD=

CDCE?， ACBC1BC． 21BC ·BC=AB·CE 2 又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=即BC=2AB·CE．

218.（8分）（2010年浙江省东阳市）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC

于E点，AE=2，ED=4. （1）求证: ?ABE～?ABD；

(2) 求tan?ADB的值； （3）延长BC至F，连接FD，使?BDF的面积等于83， 求?EDF的度数.

【关键词】图形相似 三角函数

【答案】（１）∵点A是弧BC的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ

又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分 （２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝２3

２

ABODCEF在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝

233．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分 ?63（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形， ∠ＥＤＦ＝６°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

19.（2010年四川省眉山市）．如图，Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，

连结CC ? 交斜边于点E，CC ? 的延长线交BB ? 于点F． （1）证明：△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC=?，∠CAC ? =?，试探索?、?满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

【关键词】图形的旋转、相似三角形的判定、全等三角形的判定 【答案】（1）证明：∵Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的， ∴AC=AC ?，AB=AB ?，∠CAB=∠C ?AB ? ∴∠CAC ?=∠BAB ?

FB∴∠ACC ?=∠ABB ?

C'又∠AEC=∠FEB

E∴△ACE∽△FBE

（2）解：当??2?时，△ACE≌△FBE． 在△ACC?中，∵AC=AC ?，

B'180???CAC'180??? ∴?ACC'???90???

22 在Rt△ABC中，

∠ACC?+∠BCE=90°，即90?????BCE?90?， ∴∠BCE=?． ∵∠ABC=?，

∴∠ABC=∠BCE ∴CE=BE

由（1）知：△ACE∽△FBE， ∴△ACE≌△FBE．

CA20. （2010年安徽中考）如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k?1），且△ABC

的三边长分别为a、b、c（a?b?c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。 ⑴若c?a1，求证：a?kc；

⑵若c?a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1进都是正整数，并加以说明；

⑶若b?a1，c?b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k?2？请说明理由。

【关键词】三角形相似 【答案】

（1）

证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k?1），∴

a?k∴a?ka1 a1又∵c?a1，所以a?kc

（2）取a=8,b=6,c=4，同时取a1?4,b1?3,c1?2 此时

abc???2∴?ABC??A1B1C1且c?a1 a1b1c1不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：

（1）

若k=2，则a?2a1,b?2b1,c?2c1 又∵b?a1，c?b1， ∴a?2a1?2b?4b1?4c ∴b=2c

∴b+c=2c+c<4c=a，而b+c>a

故不存在这样的△ABC和△A1B1C1使得k?2。

21、（2010年宁波）如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，23），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G。

（1）求?DCB的度数;

（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF?，记直线EF?与射线DC的交点为H。

①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;

②若△EHG的面积为33，请直接写出点F的坐标。

y D ? 解：（1）60G C y D G H C E x A O （图3）

y B x y D C E E 2） （（2，23） （3）①略 x B A B E作EM⊥直线F A M O F O ②过点CD于点∵CD∥AB （图1DAB） ?60? （图2） ??∴?EDMF?ＭD E A O B C x ∴Em?DE?sin60??2?∵S?EGH?3?3 211?GH?ME??GH?3?33 22∴GH?6

∵△DHE∽△DEG

DEDH?即DE2?DG?DH DGDE当点H在点G的右侧时，设DG?x，DH?x?6 ∴4?x(x?6)

∴

解：x1??3?13?2?13?1

∴点F的坐标为（?13?1，0）

当点H在点Ｇ的左侧时，设DG?x，DH?x?6 ∴4?x(x?6)

解：x1?3?13，x1?3?13（舍） ∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ ∴AF?DG?3?13

∵OF?AO?AF?3?13?2?13?5 ∴点Ｆ的坐标为（?13?5，0）

综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是F1（?13?1，0），F2（?13?5，0）

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