高一数学不等式证明经典例题

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典型例题一

例1 若0?x?1，证明loga(1?x)?loga(1?x)（a?0 且a?1）．

分析1 用作差法来证明．需分为a?1和0?a?1两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．

解法1 （1）当a?1时，

因为 0?1?x?1,1?x?1， 所以 loga(1?x)?loga(1?x) ??loga(1?x)?loga(1?x) ??loga(1?x2)?0． （2）当0?a?1时， 因为 0?1?x?1,1?x?1 所以 loga(1?x)?loga(1?x) ?loga(1?x)?loga(1?x) 2 ?loga(1?x)?0． 综合（1）（2）知loga(1?x)?loga(1?x)． 分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比较法． 因为 loga(1?x)?loga(1?x) ?lg(1?x)lg(1?x) ?lgalga1?lg(1?x)?lg(1?x)? lga1??lg(1?x)?lg(1?x)? lga?1lg(1?x2)?0， lga???所以loga(1?x)?loga(1?x)．

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说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．

典型例题二

例2 设a?b?0，求证：ab?ab.

分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．

abbaaabbaa?b?bb?a?()a?b 证明：ba?abab∵a?b?0，∴a?1,a?b?0. baa?baabb?1. ∴ba?1. ∴()bab又∵ab?0， ∴ab?ab.. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小. abbaba典型例题三

a4?b4a?b4?()（当且仅当a?b时取等号） 例3 对于任意实数a、b，求证22分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有(22a?b4)，2展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：a?b?2ab出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。

证明：∵ a?b?2ab（当且仅当a?b时取等号） 两边同加(a?b):2(a?b)?(a?b)，

44442222222a4?b4a2?b22?() （1） 即：

2222又：∵ a?b?2ab（当且仅当a?b时取等号）

两边同加(a?b):2(a?b)?(a?b)

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222223eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！

a2?b2a?b2?() ∴

22a2?b22a?b4)?() （2） ∴ (22a4?b4a?b4?()（当且仅当a?b时取等号）由（1）和（2）可得． 22说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，

要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．

典型例题四

111???9. abc111分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把??通分，则会把不等式变得较复abc例4 已知a、b、c?R，a?b?c?1，求证?杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如ba?，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”ab的技巧．

证明：∵a?b?c?1 111a?b?ca?b?ca?b?c????? abcabcbcacab ?(1??)?(?1?)?(??1) aabbccbacacb ?3?(?)?(?)?(?) abacbc∴ ∵

cacbbaba??2??2，同理：??2，??2。 acbcabab∴

111???3?2?2?2?9. abc说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．

典型例题五

例５ 已知a?b?c，求证：

111??＞0. a?bb?cc?a分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.

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证明一：(分析法书写过程)

111??＞0 a?bb?cc?a111?只需要证明＞ a?bb?ca?c∵a?b?c

为了证明

∴a?c?a?b?0,b?c?0

111?,＞0 a?ba?cb?c111?∴＞成立 a?bb?ca?c111??∴＞0成立 a?bb?cc?a∴

证明二：(综合法书写过程) ∵a?b?c ∴a?c?a?b?0,b?c?0 111＞ ＞0 a?ba?cb?c111?∴＞成立 a?bb?ca?c111??∴＞0成立 a?bb?cc?a∴

说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚. 典型例题六

例6 若a?0,b?0，且2c?a?b，求证： c?c2?ab?a?c?c2?ab. 分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）．

证明：为要证c?c2?ab?a?c?c2?ab. 只需证?c2?ab?a?c?c2?ab， 即证a?c?2c2?ab，

2也就是(a?c)?c?ab，

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即证a?2ac??ab， 即证2ac?a(a?b)， ∵a?0,2c?a?b,b?0， ∴c?2a?b?ab，故c2?ab即有c2?ab?0， 2又 由2c?a?b可得2ac?a(a?b)成立，

∴ 所求不等式c?c2?ab?a?c?c2?ab成立．

说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证??需证??”，综合法的书写过程是：“因为（∵）??所以（∴）??”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．

典型例题七

例7 若a3?b3?2，求证a?b?2．

分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．

证法一：假设a?b?2，则a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)?2(a2?ab?b2)， 而a?b?2，故(a2?ab?b2)?1． ∴1?ab?a?b?2ab．从而ab?1， ∴a?b?1?ab?2． ∴(a?b)2?a2?b2?2ab?2?2ab?4． ∴a?b?2． 这与假设矛盾，故a?b?2．

证法二：假设a?b?2，则a?2?b，

故2?a3?b3?(2?b)3?b3，即2?8?12b?6b2，即(b?1)2?0， 这不可能．从而a?b?2．

证法三：假设a?b?2，则(a?b)3?a3?b3?3ab(a?b)?8． 由a3?b3?2，得3ab(a?b)?6，故ab(a?b)?2． 又a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)?2，

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