第3章 线性方程组的直接解法(7)

?xx另一方面,(4)利用两边取范数,有

A??1?A??AA1?A?1?A??AA (5)

Ax?b有

?x??A?1?A?x?x??

?x?A?1?1?A??A?A?A?x??xA由此可以看出,量

（6）

A?1?A越小由A或b的相对误差引起的解的相对误差就越小,量

越大，解的相对误差就可能越大.所以量

化的灵敏程度,刻划了方程组的病态程度.于是引进下述定义

定义2 设A为非奇异矩阵,称数

A?1?AA?1?A实际上刻划了解对原始数据变

cond?A??A?1cond??A??A?1?A (7)

为矩阵A的条件数.

矩阵的条件数与范数有关,常使用的条件数有

??A?1??8??9?

cond2?A??A2?A当A为对称矩阵时

2?max?ATA???min?ATA??1cond2?A???2其中

不难证明,条件数具有下列性质: ① ① 对任何非奇异矩阵 A，都有cond (10)

?1,?n分别为A的绝对值最大和最小的特征值.

② ②

③ ③ 如果A为正交矩阵，则

?A??1; 11)

设A为非奇异矩阵,C≠0为常数，则cond?CA??cond?A? (12)

cond2?AB??cond2?AB??cond2?B? (14)

cond2?A??1 (13)

其中B为非奇异矩阵.

Ax?b的解对初始数据误差的灵敏度，其

值越大，这种灵敏度越高，即对很小的初始误差?b或?A，解x的相对误差就有可能很大，从

据以上的讨论可以看出，cond(A)反映线性方程组

而大大破坏了解的精确度.当cond(A)接近于1时，矩阵是良态的，否则是病态的.当A是正交矩阵时，cond2A?1,故正交矩阵是最稳定的一类矩阵。对病态系数矩阵解方程组或求逆矩阵，舍入误差的影响十分明显，因此应特别注意. 例2 例2 求矩阵A的条件数，其中

?? 解 因为

?121314?A??131415?????141516?? ?121314?A??131415?????141516??

所以

13?1?i?3j?112

?240180??72A?1???240900?720?????180?720600?? A?max?aij?3于是

A?1??1860,从而

cond??A??A所以A是病态的.

例3 例3 研究方程组

?1?A???2015

系数矩阵为

?10?4x1?x2?1?x1?x2?2 ??10?41?A???11??

1?51?5?1?,?2?,22有特征从而

如果用列主元素消元法,则交换方程次序

?1cond2?A???2.62?2

x1?x2?2???1?10x1?x2?1

有系数矩阵

1??1A1???1??101?

?1??1??2?2??1?10,??1?10;所以 2及相应的特征值1?1??1cond2?A1???1??1.022?2

cond2?A1?比cond2?A设x是方程组

~?小，并且cond?A?接近于1，这说明选主元的必要性.

21Ax?b的近似解，令

~ e?x?x (15)

称为解的误差向量,而令

r?b?A~x?Ae (16)

称为解的剩余向量或残余向量.

下面讨论剩余向量r和误差向量e的关系.由(3)式,有

rer1??cond?A?cond?A?bxbr当cond (17)

?A?接近于1时,

exb与ex相差不大.然而,当矩阵A的条件数cond?A?比较

rbex比较小时,

rb也可能很大.所以对病

大时，尽管比较小,但却可能很大；反之，当

态的方程组,不能单从r或e来刻划解的近似程度.

~对给定的近似解x，用(16)的左等式计算r,然后再用右等式计算e，如果r和e都是精确

~值, 则x?e是方程组Ax?b的真解.实践中由于舍入误差的影响,只能得到e的近似e,从而

~~~xx?e仍是x的近似值,但它的近似程度显然比

要高.

~~如果用高斯消元法或其它方法得到解方程

Ae?m?Ax?b的近似解x,记为x?1??~x,则m步的剩余向量

r?m??b?Ax?m? (18)

?r?m? (19)

?m??m?xe得近似解和的修正向量

x?m?1??x?m??e?m? (20)

e?m?公式(18),(1 9),(20)给出改善近似解x的迭代过程,当过程停止，这就是所谓迭代校正法.

~e?m?或

x?m?小于误差限?时，迭代

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