第3章 线性方程组的直接解法(3)

11?8????n?1??n?k?1???n3?nk?122

1312??nnn3,加减法的次数在第二节中我们曾指出，高斯消元法的运算量，乘除法次数为313125n?n?n26，从而，高斯—若当消元法比高斯消元法的运算量乘除法多为31312213121??nnnn?n?n623次，加减法多623次。当n值较大时，高斯消元法比高斯

13n6—若当消元法节省次乘除法和加减法，这个运算量是十分可观的.

n二 逆矩阵

高斯—若当消元法对求 一个矩阵的逆矩阵，或对求解仅常数项不同的很多方程组及矩阵方程是非常有用的. ?求矩阵矩阵分块

A的逆矩阵A?1，即求n阶矩阵X，使AX?In，其中In为n阶单位矩阵.?将

X??x?1?,x?2?,...x?n?? In??e1,e2,...en?

于是，求解AX?In等价于求解n个方程组

Ax?j??ej,j?1,2,...,n

AX?In的增广矩阵为C??A?In?，如果对C应用

?1???B?B. InA高斯-若当方法化为，则

定理 设A为非奇异矩阵，方程组例2 例2 用高斯—若当消元法求

由线性代数理论，我们有下面结论.

?132?A??254?????365??

的逆矩阵

解

A?1.

?132100?C??A|I3???254010?????365001?? ?132100???0?10?210?????0?3?1?301???102?530???0102?10?????00?13?31??

?9??10?

所以

?1001?32???0102?10?????001?33?1???1?32?A?1??2?10??????33?1??

?11?

为了节省存储单元，可不必将单位矩阵存放起来.作为第一步结果的式(9)中第1列已无用

处，而第4列又相当于逆矩阵所求第1列的中间结果，把它移到第1列不影响简化过程的实质.而且第5、6两列的常数项可取消，它们对简化也无实质影响，所以，最终按原位记法(9)式的结果可存放为

同理,式(10)中的n?则按原位记法为

?2n?阶矩阵将第4列移到第1列，第5列移到第2列，取消第6列，

2???53?2?10?????3?3?1?? ?1?32??2?10??????33?1??

32??1??2?10??????3?3?1??

式(11)的原位结果为

即为我们所要求的逆矩阵A,所以在计算中求逆矩阵的过程可简记为

32??132??1A??254????2?10???????365?????3?3?1??

2???53?1?32??2?10??2?10??????1?3?3?1??????33?1??=A ? ?一般地，逆矩阵的计算公式为

?1a?'kjakk?'akjakk1,j?1,...,k?1,k?1,n?12?

akk?13?

aij?aij?akjaik,''i?1,...,k?1,k?1,nj?1,...,k?1,k?1,ni?1,...,k?1,k?1,nk?1,2,...n

?14??15?

a??aika,'ik'kk式(12)—(15)就是求逆矩阵的基本计算公式，对应于每一个k值就是完成了一个消元过程，在消元过程进行中i和

j变量在规定的范围内进行循环.

我们知道,只要矩阵A的行列式det?0,则A总是可逆的,然而,当主元素为零或绝对值

太小时,按上述方法计算机可能要溢出，因此，在约化的过程中也应采用选主元素的方法,如果互换矩阵的两行,对方程组的解来说,这样的对换对结果没有影响;而对求逆矩阵来说,这样的对换改变了所要求的逆矩阵.事实上,是逆矩阵也作了相应两列的互换,所以,计算逆矩阵也可以通过列主元素消元法,只要记住行的交换,然后在结果中施行相应的列交换即可.

第四节 第四节 矩阵分解? 一 矩阵的LU分解

高斯消元过程实际上是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，也就相当于用相应的初等矩阵

?1??0??1??0?x?x?bbAA左乘增广矩阵.如果对施行第一次消元后化为, 则存在L1, 使得

?0??1??0??1???bbLAAL11 ,

其中

?1????1l21???1L1???l31???????1???ln1?

?k??k?x?kbA一般地，施行第次消元后化为，则有 ?k?1??k??k?1??k???bbLAALkk ，

其中

重复这一过程，最后得到

?1????????1Lk????1lk?1k?????????1lnk??

Ln?1?L2L1A?0??A?n?1?

Ln?1?L2L1b?0??b?n?1?

?n?1?将上三角矩阵A记为U,则

A?LU

其中

L?L1L2...Ln?1为单位下三角矩阵。

?1?1?1?1??l?1?21?????1??ll?1??n1n2?

这就是说，高斯消元法实质上产生了一个将作用.

A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解,称为

D?0?i?1,2,..n?则A可

A的三角分解或LU分解.于是我们有如下的重要定理,它在解方程组的直接法中起着重要的

定理1(矩阵的LU分解) 设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式i分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积,且这种分解是唯一的. 证明 根据以上高斯消元法的矩阵分析, A?一性，设

LU的存在性已经得到证明,下面证明分解的唯

A?LU?L1U1

L,L1为单位下三角矩阵;U,U1为上三角矩阵，由于A可逆，从而L1与U可逆,故 其中

?1LL?UU1 1

?1上式右边为上三角矩阵,左边为单位下三角矩阵,因此,上式两边都必须等于单位矩阵,于是

L1?L,U1?U例1 例1 求矩阵

的LU分解.

解 由高斯消元法

?111?A??04?1?????2?2?1??

l21?a21a11?0,l31?a31a11?2

且

?111?A?A?0???04?4??A?1?????0?4?1??

?1??4al32?32???1?1?4a22进一步，有，且

?111?A?1???04?1??A?2?????0?4?1??

所以, A?LU,其中

?100??100?L??l2110???010???????2?11?? ?l31l321???U?A?2?

如果把A分解为乘积LU后，求解Ax?b的问题可以看作是相继求解具三角状系数的方程组

的问题,也就是用

?Ly?b??Ux?y

求y，再用

?y1?b1?k?1?lksyj?yk?bk??j?1????k?2,3?,n?

求x,因此,利用LU分解在求解具相同系数矩阵而有不同常数列的方程组时,只要保留L与U的记录就不必要做A的分解及约化的重复工作(这是比较费时的),只要做求解两个三角状系数

方程组的工作就行了,而这两件工作是比较容易和省时的.

二 LU分解的计算公式

定理1告诉我们，如果A的各阶主子式不为0，则存在唯一的LU分解，所以，矩阵分解不一定采用高斯消元法，下面给出一种直接计算方法，设 A?其中

yn?xn??unn??n?/u?x??y?uy??kkksj?kk?j?k?1????k?n?1,n?2?,1?LU ?1?

?1??u11u12u13?u1n??l???1uu?u22232n?21????U???L????????????????????unn??ln1ln2??1????

利用矩阵乘法及矩阵相等则对应元素相等的事实,可以逐一求出L与U的各个元素.首先，从第1行得出U的第1行元素

?2? u1j?a1j,j?1,2,?,n再从第1列算出L的第1列元素

ai1?3?li1?,i?2,3,?,nu11

其次，从第2行算出U的第2行元素

?4? u2j?a2j?l21u1j,j?1,2,?,n再从第2列算出L的第2列元素

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