第3章 线性方程组的直接解法(5)

当n比较大时,平方根法的运算量和存贮量约为高斯消元法的二分之一，因此它是求解对称正定矩阵比较好的方法.

为了避免开方运算,我们可以采用下面的分解式

A?LDLT对于i其中L是单位下三角阵,D是对角阵,由矩阵乘法,可得L与D的计算公式.

?24? ?25??1,2,...,n,有

k?1j?1lik?(aik??lijdjlkj)dki?1j?1k?1,2,...,i?1

di?aii??lij2dj,为了避免重复计算,我们引入

?26?

tij?lijdj于是上述公式可改写成

对于i?27?

k?1,2,...,i?1?1,2,...,n,有

tik?aik??tijlkj,j?1k?1?28??29?

tiklik?,dki?1j?1k?1,2,...,n

di?aii??tijlij,计算出T?30??LD的第i行元素tik,k?1,2,...i?1后,存放在A的第i行相应位置，然后再

ltalt计算L的第i行元素ik仍然存放在A的第i行，即用ik冲掉ik,再用ik冲掉ik,D的对角线

元素存放在A的相应位置上.

对称正定矩阵A按LDL的分解和按LL分解其计算量差不多,但LDL分解不需要开方

计算，它称为改进的平方根法. 四 追赶法

在计算样条函数,解常微分方程边值问题,解热传导方程等都会要求解系数矩阵呈三对角线形的线性方程组,这时

TTT

的LU分解中,矩阵L和U分别取下二对角线和上二对角线形式,设

?a11?a?21A??????a12a22?a23?an?1n?2?an?1n?1ann?1?????an?1n?ann??

?l11??1u12??l?????l2221??L??U???????1un?1n?????ll1?nn?1nn?, ??

由A?LU得计算公式

a11?l11 aii?1?lii?1,i?2,3,...,n aii?lii?1ui?1i?lii,,i?2,3,...,n aii?1?li1uii?1,i?1,2,...,n?1即

l11?a11

ua12?12l11

lii?1?aii?1

lii?aii?lii?1ui?1i

uaii?1ii?1?liii?2,3,...,

n

此时,求解Ax?b等价于解两个二对角线方程组

??Ly?b?Ux?y自上而下解方程组

Ly?b形象地称为“追”.

yb11?l11

ybi?lii?1yi?1i?l,i?2,3,...nii自下而上解方程组

Ux?y称为“赶”.

xn?ynxi?yi?uii?1xi?1,i?n?1,...,2,1习惯,上述求解方法称为“追赶法”. 例4 用追赶法解三对角线方程组

??2x1?x2?1???x1?2x2?x3?0??x2?2x3?x4?0???x3?2x4?1解 由三对角分解公式有

l11?a11?2

u12?a12l11??12 l21?a21??1

l22?a22?l21u12?2?12?32u23?a23l22??23 l32?a32??1

?31??32??33?

而由“追”公式有

l33?a33?l32u23?43 u34?a34l33??34 l43?a43??1

l44?a44?l43u34?54

最后，由“赶”公式得原方程组的解

b11?l112

b?ly1y2?2211?l223 b3?l32y21y3??l334 b?lyy4?4433?1l44 y1?x4?y4?1 x3?y3?u34x4?1 x2?y2?u23x3?1 x1?y1?u12x2?1

追赶法公式实际上就是把高斯消元法用到求解三对角线方程组上去的结果，这时由于A特别简单，因此使得求解的计算公式非常简单，而且计算量仅有5n仅占5n?4次乘除法,3n?3次加减法,

?2个存贮单元,所以可以在小机器上解高阶三对角线形的线性代数方程组.

第五节 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对R（n维向量空间）

n中向量及R（n?n维矩阵空间）中矩阵的“大小”引进某种度量——向量与矩阵范数的概念.向量范数概念是三维欧氏空间中向量长度概念的推广,在数值分析中起着重要作用. 一 向量的范数

n?nn????x?x,x,...,x,y?y,y,...,y?R12n12n 定义1 设，记

TT

称为向量x与

?x,y??xT?y?y?x??xiyii?1Tn?1?y的内积.记非负实数

x2?

称为向量x的欧氏范数.

?x,x????x?ni?1122i?2?

nx,y?R下面结果可在线性代数书中找到，设,k为实数.

① ① 非负性

x2?0且

x2?02当且仅当x?0时成立.

2② ② 齐次性

③ ③ 柯西—许瓦兹不等式

k?x?k?x

?x,y??④ ④ 三角不等式

xy等式当且仅当x与线性相关时成立.

2y2

x?y2?x2?yn2

我们还可以用其它办法来度量R中向量的“大小”,例如,用一个x的函数N的“大小”.在应用中对N的一般定义.

定义2 设

?x?常要求是非负的,齐次的且满足三角不等式,下面我们给出向量范数

n?x?来度量xx① 非负性

n是R上定义的一个实值函数，如果对任意的x,y?R，k?R,满足 x?0x?0?3?x?0且当且仅当时成立.

② 齐次性

③ 三角不等式

k?x?k?x

?4?

?5?

?6?

x?y?x?y则称

是向量x的一个范数(或模). 由定义可推出不等式

xx?yx② 1-范数,也称为绝对和范数

?x?y

实践中最常用的范数有以下几种：

① ∞-范数,也称为最大范数或切彼晓夫范数

??maxxi1?i?n

?7? ?8?

x1??xii?1n③ 2-范数,也称为欧几里德范数

④ p-范数

x2??xi?1??n122i

p

其中关系

xp??xii?1?n?1pp??1,???，可以证明,上述三种范数都是p-范数的特殊情况,而且它们还满足下列

?9?

x??x1?nx?x??x2?nx?1x1?x2?x1n一般地,有下面结论

引理(向量范数的连续性) 设非负函数

?10??11?

?12?

xx为R上的任一向量范数,则

nx是x的分量

x1,x2,...,xn的连续函数.

定理1(向量范数的等价性) 设

xs，

t为R上的任意两个向量范数,则存在常数

nC1,C2?0,使得对一切x?Rn恒有

c1xs?xt?c2xs （13）

证明 实际上,只要能证明一切范数对某一个固定的范数等价,那么任意两种范数都必然等价,因此,可取

记

S?xx?Rn,x??1??，则S是一个有界闭集,由于函数x1x?c2x?t?xs?x??maxxi1?i?n

t在S上连续,所以在S上必

达到其最大值

C2与最小值C1.设x?Rn，且x?0,则

1x?Sx?,从而有

c1?由范数的齐次性,有

?c1xn?xt?c2x

对一切x?R,x?0成立.而对x?0上式显然成立.

注意 定理1不能推广到无穷维空间.由定理还可以看到,对某个向量x来说如果它的某一种范数小(或大),那么它的任 一种范数也不会很大(或很小).

有了范数的概念,我们就可以来讨论收敛的问题.

????为Rx定义3 设

kn中一向量序列,

k??x??Rn,如果

（14）

limx?k??x??0则称x?k??????收敛x义下该向量序 列也收敛.因此,一般按计算的需要采用不同的范数,而且把向量序列

k依范数‖·‖收敛于x.

从上面范数的等价性可以推出,如果在某种范数意义下向量序列收敛,则在任何一种范数意

于向量x记为

?limx?k??x?k??而不强调是在那种范数意义下收敛.

m定理2 设A为m×n阶矩阵,其列向量为线性无关的,如果 ‖·‖是R中范数,则

N?x??Ax,便是R中的一种范数.

nx?Rn

n证明 因为A的列向量线性无关，所以对任意的非零向量x?R有Ax从而

?0

?x?具有非负性;又

N?kx??A?kx??k?Ax?kN?x?

即N?x?具有齐次性；进一步

N?x?y??A?x?y??Ax?Ay?N?x??N?y?

所以, N?x?具有范数的全部基本性质,是一种 范数.

即NN?x??Ax?0

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