第六讲政策效应评估(7)

?(xi)是用logit或Murphy和Topel(JBES 1985)提出的装置来实现修正。然而，如果pprobit估计的，那这个装置是没有意义的，因此非线性函数回归也是如此。考虑到这

个原因，使用（4.2）可能是个更好的主意。

8.倾向得分匹配

8.1 一般概念

倾向得分法也可以用于构建匹配估计。在标准匹配法中，我们把X划分为小的单元，计算每一个单元的E(y|??1)?E(y|??0)，加总所有的单元获得ATE。我们已经知道，当单元的数量变大时，许多单元里面的??1或??0样本就会没有，这就造成了一些问题，因为限制X支撑（support，指区间）同时也限制ATE对支撑的解释。

倾向得分匹配法，开始由Rubin提出，他试图解决这个难题。我们是以p(x)为基础构建的单元，而不是以X为基础。那么我们计算每个单元的E(y|??1)?E(y|??0)，然后加总所有的单元。这就叫做倾向得分匹配法。

这个方法的有效性。设想我们随机选择倾向得分p(x)。然后我们选出两个具有相同倾向得分的个体，但是一个是??1，一个是??0。这些个体具有可对比性，因为他们具有相同的接受参与的可能性。但是偶然地，有人进入了参与者，有人进入了控制组。在强无关性的假设下，两个个体的差异就是p(x)值时的参与效应。对所有的p(x)值重复这个过程。加总所有p(x)值的参与效应，就得到了ATE。

从形式上看，首先我们注意到，ATE.1规定在以X为条件下，?与(y0,y1)是相互独立的。Rosenbaum和Rubin已经说明，因为?是个二元变量，ATE.1暗指给定p(x)条件性，?与(y0,y1)相互独立。证明过程如下：

E(?|y0,y1,p(x))?E[E[?|y0,y1,x]|y0,y1,p(x)] 由独立性得 =E[E[?|x]|y0,y1,p(x)] = E[p(x)|y0,y1,p(x)] =p(x)=E[?|p(x)]

这就是均值独立性（mean independence），因为?是二元变量，均值独立性和独立性是一样的（看Lee P.94）。?与(y0,y1)是相互独立的条件下，以p(x)为条件的形式是：

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E[y|??1,p(x)]?E[y|??0,p(x)]?E[y1?y0|p(x)]

这是以p(x)为条件的ATE。取倾向得分分布的均值，就得到ATE?E[y1?y0]。

8.2估计法的选择

?的直觉告诉我们，倾向得分法产生了许多实践上的难题。首先，需要修正ATE标准差来解释预测倾向得分的作用，许多研究者忽视了这个问题。

其次，实现这个方法的途径有很多。因为在实践中，获得确切相同的倾向得分是不可能的。一种方法是，对每一个参与者寻找与他的倾向得分最接近的控制组个体。在这种情况下，每一个参与者都有控制组个体与之配对。这就叫做最近邻近匹配法。（the nearest neighbor）

Heckman ,Ichimura andTodd(1997), Heckman ,Ichimura,Smith,Todd(1996,1998)说明,通过对每个参与者配对多个控制者可能可以提高效率。他们提出的方法有一个共同点，就是，以参与个体i的匹配控制个体j的平均值为权重,来估计反事实

E[y|??0，p(x)]，这里权重W（i,j） 在参与者pi和最近邻居pj的倾向得分的差距

之内，形式为：

??ATEM1nTi?IT?{y1i?[y|??1,p]}，E?[y|??1,p]??E0ii0ii?W(i,j)yj?IC0j

?标示倾向得分匹配法，nT为参与组样本数，IT标示参与样本集合，IC这里ATEM是未参与样本集合，W(i,j)是权重函数。

这里是一些流行的匹配法和他们的权重方案—参看Smith，Todd（2004）。 1.最近邻居（单个匹配）：每一个参与者只有一个控制者，如果是最近邻居则W(i,j)?1，否则为0.

2.Caliper （阀阈）匹配：每一个参与者只有一个控制者，考虑到 |pi?pj|??，如果是最近邻居则W(i,j)?1，否则为0。这个规则规定了最近邻居的距离。在这种情况下，一些参与者可能没有匹配对象。那么推导只限定于这些可以找到有效参与的参与样本（inference is restricted to those treatment observations for which a valid treatment could be found）

3.Radius （半径）匹配法：每一个参与者有多个控制者，|pi?pj|?r，r是对比的半径。这里W(i,j)?1/Ni，这里Ni是参与个体i与控制者倾向得分距离在半径之内控制者的数量。在半径匹配法里，所有在半径内的控制者样本都会使用到。它

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的目的就是通过减少控制者之间的噪声来改善效率。

4.分层（或分区）法：pi的共同支撑被划分为很多区间或层。对比每一层的参与者和控制者。ATT就是平均所有层的估计值。这里如果控制者和参与者在同一层则权重为1.

5.Kernel匹配（权重匹配）：每一个参与者有多个控制者，权重随着距离的减小而增大。形式是：

?pj?pi??G???a1n????ATE{y?y?1ij?M0jnTi?IT?pk?pi?ICG?k?IC??an?????}

这里G(.)是一个Kernel函数（如。。Epaneshnikov，Gaussian）an是参数带宽。这

?pj?pi??G??a?n??里权重函数是W(i,j)??pk?pi?k?ICG??an?，这里保证了权重加总是1。

????这么多不同的方法，已经产生了不同的估计法（有时，我的经验是，他们区别很大）。然而要告诉你哪个方法更好，不是件容易的事。这是一个活跃的研究课题。

8.3 共同支撑

我们必须意识到，倾向得分方法只在共同支撑（Common support）局域有效（即有重叠）。逻辑很明白：我们只有在同样特性的参与组和控制组个体的匹配时，才能估计参与效应。

在某些情况下，这是不可能保证的。例如，假设所有的人都是合格的参与者—只有他们是参与了的。在这种情况下我们不能观察到反事实，因此不能估计参与效应。（我们可能使用不连续设计，或通过对比参与个体事前事后的情况，或通过对比合格准则的门槛上下个体—假定这个准则是连续的）。

就倾向得分匹配法的方法论而言，这个问题显现的很清楚。比如说，我们在倾向得分回归包括合格者在内。如果所有的合格者—无一例外---接受了参与，倾向得分回归估计可以完美地预测参与。共同支撑要求没有意义：违犯了假定18.8。

甚至，如果倾向得分回归不能完美地预测参与，我们可能失去了很多样本，因为他们在共同支撑区域之外了。例如，一些个体可能具有很可能不参加参与的特性：他们的p(x)很小。视数据而定，有可能没有参与个体有这样小的p(x)。在这种情况下所有的p(x)小的个体都没有参与者匹配对象。因此，把他们一起丢弃在参与效应评

?的解释因此也常常限制在个体支撑区域。这一点我们在解释结果的估之外了。ATEM时候必须时刻牢记。

在实践中，它的含义是，我们必须有能很好预测p(x)的回归元来消除任何的选择

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性偏差---但是不可能好到能够消除共同支撑。政策干预常常以最有可能从干预中获益的个体作为目标。目标越好，越难估计政策效应。

8.4 平衡性

关于倾向得分匹配法的经验研究（empirical）文献注重于平衡性。首先我们把数据分为具有相似倾向得分的块。然后在每一块里，我们检查参与者和未参与者的X变量是否大体相似。在实践中，这意味着对每一块的X回归元的平均值的平衡性进行t检验。如果对于所有块的X的均值平衡假设没有拒绝，那么就说数据是平衡的。如果拒绝平衡检验，那么推荐使用更不吝啬的模型（如加入更多的X或X的函数作为回归元）直到满足平衡性。

8.5 应用

一篇引用很多的文献Lalonde（1986）中，对比从实验法和非实验法得到的参与效应（即，观察的—observational）数据。Lalonde把对同一人群收集 的随机化实验的数据和观察的数据（即，调查—survey）联合起来。他的结论是，非实验法数据不能提出精确的参与效应的估计值。这篇文章常常引用为进行随机化实验的理由。

Dehejia和Wahba（1999，2002）回归了LaLonde数据，对比倾向得分匹配法和差异中的差分法的ATE的估计值。他们从随机化实验获得参与组。这些就是参与者。他们把参与组和两个不同控制组相比：（1）使用差异中的差分随机化实验的控制组；（2）使用倾向得分法调查的未参与个体。方法1能得出一个一致的ATE。作者说明在特定情况下，倾向得分法（方法2）可以得到与应用方法（1）得到的估计值相近的结果。Dehejia和Wahba经常被用作应用倾向得分研究调查数据估计参与效应的理由。

Smith和Todd（2005）批评了这一结论，因为这些结论对Dehejia和Wahba分析的方法很敏感（参看Dehejia和Wahba的回应）。Smith和Todd证明，在方法上的轻微的变化会导致不同结果（尤其是样本的选择）----而且断定许多匹配估计都不稳健。

Smith和Todd在Heckman和合著者的基础上，提出应该使用差异中的差分倾向得分匹配法而不是使用跨区（cross-section）匹配。它假定，研究者已经有调查的面板数据---参与者和未参与者在干预前（时刻t'）和干预后（时刻t）---但是不要求参与是随机分配的。有了面板数据，我们可以使用标准的差异中的差分估计法（看上文）。但是这个估计法暗含一个假定：一旦我们控制了固定效应，控制组和参与组可以对比。它还假定了控制变量作用的函数形式。差异中的差分倾向得分匹配法通过增加一个步骤就避免了这些缺陷。

1?ATE?DIDMnT??(y1ti?y1t'i)??i?IT??W(i,j)(yj?IC0ti??y0t'i)?

?和之前的一样，这里的权重取决于所使用的匹配方法。注意，这里X只用于计算倾向得分p(xi)，p(xj)。这个方法不对X影响产出的形式做任何假定---但是它假定X（可能是时间不变X）影响参与的可能性。

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8.6其它最近邻居匹配法

还有其它形式的匹配法。这些方法和倾向得分匹配法相似，但是使用其他的度量距离的方法来近似评估控制组和参与者---依此来选取合适的匹配对。

比如说协变量X，我们想要度量X之间的距离。一个简单的矩阵是向量标准

1?这里V是正定（positive definite）的权重矩阵。x1和x2之间的距离||x1?x2||v?x'Vx2??。??就是：

||x1?x2||v?((x1?x2)'V(x1?x2))12

Abadie et al （2004）详细讨论这种类型的估计法的特性。

对矩阵V来说，例如我们可以对协变量方差对角线取逆阵得到一个矩阵。在这种情况下，矩阵V对每一个协变量X用它的标准差来参与，将它标准化（normalized）。两个样本之间的距离就是标准化的协变量之间的差值的绝对值的加总。

另一个方法就是令V?S?1。这里S是协变量X的协方差（covariance）矩阵。这个矩阵被称为Mahalanobis矩阵。读者将会意识到，Mahalanobis矩阵和GMM在一点上是相似的----即，使用协方差作为权重矩阵。因为这个原因，使用Mahalanobis矩阵看起来是一个比简单地对方差取逆阵更好的方法。细节参看Abadie，Imbens。

Heckman，Ichimura，Todd（1998）检验一类基于Kernel匹配法的，得出了他们的一些特性。他们的结论是使用倾向得分匹配法的优点是简单。而且，对于小样本，作者推测普通倾向得分匹配法比高维匹配法更有效。

8.7 STATA命令

我看到，在默认的（by default）stata中，没有倾向得分匹配法和其他匹配方法命令。但是有些下载包可以从STATA网站下载。下面是我已经看到的下载包内容。如果你找到了其他的或你知道他们相关的优点，请告诉我。

8.7.1 PSCORE 和ATT

首先我推荐使用这两个命令，因为他们相对简单，使你看到与倾向得分匹配法相关的许多步骤。命令pscore使用logit或probit估计倾向得分。它也把数据分块（基于倾向得分），然后检测在每一块里向量X是否平衡。

Stata提出计算ATT的方法的选项：Radius ,Kernel,nearest neighor,stratification(相应的命令是：attr,attk,attnd,attnw和atts)。所有的方法反复迭代所有的样本，为它们寻找可对比的控制者。正如前面解释的，它们的区别在于，它们寻找控制组的方式和计算的权重函数不同。对这所有的方法来说，STATA使用自举法来假设标准差。注意pscore自举法的默认次数是50，这个数字比认为合理的数字要小（well below）。为免意外发生，500或1000次是需要的。如，一种自举法的结果是显著的，但是另一种就不显著了。注意，这些命令对于kernel匹配法运行非常慢：计算kernel权重，加总许多计算结果，自举法意味着要执行很多次。

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