ATT就只是加总这些部分的问题了。这个方法的优点是不需要X和Y之间关系的任何假定。
如果X的值很多，我们仍然希望对X和Y的关系不做假定—但是我们乐于假定这种关系是连续的，那么我们可以使用核回归（Kernal regression）技术来获得ATE(X)的估计值。
令r0(x)?E(y0|x,??0)
r1(x)?E(y1|x,??1)
可以用核回归估计每一个部分的值。一致的ATE（x）,ATT(x)估计式如下：
N1???[r?1(xi)?r?0(xi) ATENi?1N?N????1(xi)?r?0(xi)]????i?ATT????i[r? ?i?1??i?1??1?我们也可以估计一个X多项式的回归模型，使用它的结果来构建灵活的r1(xi)和?0(xi)的局部估计（local estimates）。这个方法见下面的内容。 r4.2识别（identification）
我们把数据分解为几个部分的时候，我们很容易就碰到识别（identification）问题。
假定我们有一个二分的X，例如贫穷（X=1）或不贫穷(X=0)。然后我们假定所有贫穷的人接受参与—如，获得福利项目的收益---然而非穷人只有部分获得参与。这意味着，我们没有E(y|x?1,??0)的观测值。因此，我们不能计算穷人的参与效应。 这是很明显的，但是也很不幸，因为在许多情形下，我们希望估计项目最至关重要的目标受益者的参与效应，但是却不能计算得到。定义的目的是，我们不需要纵向数据-前后估计（before-after estimator）-或一些X=1个体接受参与，而剩下的没有参与的实验。我们一会还要讨论这些估计法，因为他们都存在自己特定的问题。
4.3 回归法
4.3.1 同质效应
如果我们希望对X和Y的关系强加一些安排，我们可以使用回归法估计ATT和ATE。为了阐明这是如何实现，我们令：
y0??0??0 y1??1??1
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而且E(?0)?E(?1)?0。这可以推出一个开关回归（Switch regression）模型：
y??0?（?1??0)???0??(?1??0) （4.1）
在无条件模型（没有以X为条件）中，ATE?E(y1?y0)??1??0，因此W的系数就是ATE。上述的OLS回归是否能得到一个一致的ATE估计值，还要看W是否和误差项相关。要确认这个可能性，我们需要最后面的一项消失，就是说的均值为?（?1??0）0. 在这篇文献里，这个条件就意味着，参与和未参与的不可
观测的产出分布是相同的。因此就有下面的命题。
假定1.（伍德里奇18.11） E(?1|x)?E(?0|x)
命题2.（伍德里奇 18.1）：如果假定18.11+ATE.1’,成立，那么
ATT=ATE 这里??ATE,而且E(?0|x)?g0(x) 证明：
在假定ATE.1’下， E(y1|x,?)??1?E(v1|x) ， E(y0|x,?)??0?E(v0|x)。在假定18.1下，E(y1|x,?)?E(y0|x,?)??1??0，因此通过反复迭代期望：
E(y1|?)?E(y0|?)??1??0
它暗指ATE=ATT。这就证明了第一部分。至于第二部分开关模型（4.1）给定W,X的期望，我们得到：
E(y|?,x)??0?（?1??0）??E(v0|?,x)??E(v1?v0|?，x)]
??0?ATE??g0(x)??E(v1?v0|?,x)
问题是最后一项是否能够消失。我们有： 由假定ATE.1’得 E(v1?v0|?,x)?E(v1?v0|x) 由假定18.11得 ?0 第二部分得证。
命题18.1是说，当给定X时，预期的个人特性的收益为零，E(y|?,x)对于W来说是加性可分（is additive in W）的，且是X的函数，W的系数是ATE。如果
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g0(x)??0?x?0，回归模型归结为以下常见形式：
E(y|?,x)??0????x?0 （4.2）
这里?0??0??0 x?0代表基于可观测因素的选择。
许多研究者应用模型4.2于随机化实验数据。这在概念上是没必要的：因为通过设定X与W正交，加入X控制变量，不会影响?。因为随机化实验法执行成本高，然而他们常常只有小样本。这意味着，在实践中，可能出现不平衡问题。不平衡可能也是随机化实验实施不完美的信号，在这种情形下，我们希望控制X以防万一。
虽然这听起来是一个合理的测量，Deaton(2009)加入不必要的控制变量，常常导致?的标准差更小----这是一种人工改善结果显著性的“技巧”。Freedman(2008)也注意到，如果?i的参与效应在不同个体中各异，那么模型（4.2）依然成立，W的系数是?i的一致估计，就是?。但是在小样本时，这个估计量有很严重的偏差，偏差形式为
?，这里n是样本大小：
n1n???lim?(?i??)(xi?x)2
ni?1考虑到这个情况，对于随机化实验法来说，它使用以下简单点的形式来进行估计会更好：
E(y|?,x)??0??? 4.3.2 异质效应
通过介绍?i在个体中各异的这种可能性，我们已经隐晦的介绍了异质效应。现在我们回想一下。我们首先注意到，如果放松假定18.11，ATE=ATT不再成立。然而回归方程可以用来估计ATE，正如下面的命题：
命题3.（伍德里奇18.2）：如果假定ATE.1’成立，那么
一般情况下 ATT?ATE
E(y|?,x)??0????g0(x)??[g1(x)?g0(x)]
g0(x)?E(v0|x) g1(x)?E(v1|x)
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证明：
使用开关模型（4.1）的期望；
E(y|?,x)??0?（?1??0）??E(v0|?,x)??E(v1?v0|?，x)]
??0?ATE??g0(x)??E(v1?v0|?,x)
这里最后一项没有消失。我们有
由假定ATE.1’得 ?E(v1?v0|?,x)??E(v1?v0|x) ??[g1(x)?g0(x)] 证毕。
如果g1(x)，g0(x)是线性的，我们令g0(x)??0?x?0，g1(x)??1?x?1。因为E(v0)?E(v1)?0，必然可得到：
0?E(E(vi|x))??i??ix ，i?{0,1}
?i???x
因此我们得到：
E(y|?,x)??0????x?0??[(?1?x?1??0?x?0)] ??0????x?0??(x?x)(?1??0)
??0????x?0??(x?x)? （4.3）
这里（4.3）可以由OLS估计得到。18.2和命题18.1的主要区别在于，我们包含了一个参与和(x?x)的交互项。在文献中，这就是异质性参与效应模型。
估计方法是：
???? ATE?(x)????(x?x)? ATE 19
NN?????????????i????i(x?x)?ATT? ?i?1??i?1??1?的标准差可以使用自举法（Bootstrap）获得。 伍德里奇指出，ATT如果我们尽量灵活—而且得到和划分区间一样的结果（见上文），那么我们可以
对截然不同的X值设定虚拟变量。这叫做完全饱和模型（fully saturated model）。然而，像之前指出的那样，对所有的个体我们不能识别交互项的系数，一旦虚拟变量W要么全是参与的，要么全是未参与的。这意味着当我们估计ATE时，只有除去未参与的样本,才可以识别。
异质性和预-检验（pre-testing）。
随机化实验法常常被称作是科学证据的黄金准则。在这样的实验中，?i是随机赋予的。但xi不是随机的。然而许多经济学研究者发表的论文，其中平均参与效应几乎没有什么分量，感兴趣的多是关于异质性效应的，就是说，参数向量?。我认为这其中大多和这个事实有关：在许多随机化领域实验中，平均参与效应令人提不起兴趣，因为它对人类行为和参与对产出发挥作用的途径，不能提供什么信息。为了解释这些作用途径，研究者典型地转向了异质效应回归。
因为这是在数据收集完成之后进行的，这会出现预参与/数据开采（data mining）偏差问题，也即，研究者寻找具有显著的?的xi的数据，这样就有有趣的事情可以说了。大部分引用最好的领域实验论文都存在这个问题。但是因为这些异质效应不是随机（experimental），因此不满足黄金准则。换句话说，从随机化领域实验得到的令人感兴趣的证据，并不比观察数据得到的证据更强。
有没有方法来解决这个困境？一种可能的方法是，研究者承认存在某些异质效应问题。假定承认机制是可信的，那么就可以参与数据挖掘问题。但是如果最后都不显著了怎么办？难道杂志社会承诺出版这些结果？我不这么认为。这意味着除去预检验/数据开采，我们必须想办法让杂志社预先承诺出版这样的研究结果。我们还有很长的路要走。
另一种可能的方法是---数据密集而且可能不可靠—随机把样本划为两个相等的部分。一部分用来做所有的数据挖掘，就是或，所有的回归不会在最后的论文里出现。一旦研究者已经识别了一套优先回归，他保留这套回归。然后他再用相同的模型估计另外一部分，报告两部分的结果---一部分是“数据挖掘”的，一部分是剩下的数据。如果结果相似，他就可以下结论，预检验偏差不是问题。我所见的这种方法应用不多，可能是因为很难使编辑和咨询人相信这个过程是真实的，也就是说没有回访（revisit）原始回归。
参与数据挖掘问题就是要束手。但是它没有宣布其它潜在的问题，比如第一步我
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