[走向高考]（全国通用）2016高考数学二轮复习 第2部分 大专题综(7)

其中，a＝2，c＝3，b＝1，则 曲线Γ的方程为＋y＝1.

4

→→

(2)因为OB与圆O1相切，所以OB⊥AB.

x2

2

设B(x0，y0)，则x0(x0－3)＋y0＝0. 222

又＋y0＝1，解得x0＝，y0＝±. 433则kOB＝±2

，kAB＝?2， 2

2

x20

则直线AB的方程为y＝±2(x－3)，即 2x＋y－6＝0或2x－y－6＝0.

18．(20152江西省质量监测)在平面平直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：ax－y＝1(a>0)

(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，若该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积不超过

2

，求实数a的取值范围； 8

2

2

→→22

(2)设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，若l与圆x＋y＝1相切且OP⊥OQ，求双曲线的方程．

[解析] (1)双曲线的渐近线方程为y＝±ax

过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线是y＝ax＋1，设两直线的交点为A.

由?

?y＝ax＋a，?y＝－ax，

a?x＝－，?2解得?

ay＝，??2

∴A?－

?

?

aa?

2

，?， 2?

1aaa2

∴围成的三角形的面积S＝2a2＝≤，

2248

3

解得a≤

4

. 2

(2)设直线l：y＝x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

??y＝x＋m，?2

2

??ax－y＝1，

?(a－1)x－2mx－m－1＝0(a≠1)，

2

2

2

2mm＋1∴x1＋x2＝，x1x2＝－，

a－1a－1

l与圆相切∴|m|2

＝1?m＝2.(1) 2

∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0?x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0

m2＋12m22

2x1x2＋m(x1＋x2)＋m＝0?－22＋＋m＝0(2)

a－1a－1

2

解(1)(2)得：a＝2 当a＝1时，不满足题意．

∴所求的双曲线方程为：2x－y＝1.

2

2

x22

19．(文)(20152河南八市质量监测)已知椭圆C：2＋y＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点

a为F，直线AF与圆M：(x－3)＋(y－1)＝3相切．

(1)求椭圆C的方程；

→→

(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点，且AP2AQ＝0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

[解析] (1)A(0,1)，F(a－1，0)， 直线AF：

2

22

2

x＋y＝1， a2－1

2

即x＋ya－1－a－1＝0，

∵AF与⊙M相切，圆心M(3,1)，半径r＝3， ∴

3

a2

＝3，∵a>1，，∴a＝3，

∴椭圆的方程为＋y＝1.

3

→→

(2)由AP2AQ＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y1

＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1，

x2

2

k将y＝kx＋1代入椭圆C的方程， 整理得(1＋3k)x＋6kx＝0， －6k解得x＝0或x＝2，

1＋3k2

2

－6k1－3k故点P的坐标为(2，2)．

1＋3k1＋3k6kk－3

同理，点Q的坐标为(2，2)．

k＋3k＋3

2

2

k2－31－3k2

－k2＋31＋3k2k2－1

所以直线l的斜率为＝.

6k－6k4k－k2＋31＋3k2k2－16kk2－3

则直线l的方程为y＝(x－2)＋2，

4kk＋3k＋3k2－11

即y＝x－.

4k2

1

所以直线l过定点(0，－)．

2

x2y2

(理)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左右端点分别为A1，A2，抛

ab52

物线y＝4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2＝. 3

(1)求椭圆的方程；

?2?(2)过点?，0?作直线l与椭圆相交于P，Q两点(不与A1，A2重合)，求证：直线A2P与?7?

A2Q垂直．

[解析] (1)如图所示：不妨设A(x0，y0)，(x0>0，y0>0)，

p52

由题知AF2＝x0＋＝x0＋1＝，所以x0＝，

233

28262

所以y0＝43＝?y0＝，

333

x2y2424002＝1，2＋＝1，解得a＝4， 2＋22

aa－19a9?a－1?

所以c＝1，a＝2.

所以b＝a－1＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.

43

2

2

x2y2

＋＝1432

(2)①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，由于

72

x＝748， 49

?????

x2y2

1

?＝1－＝349

y2

120－

7212??212?12?，，－所以y＝±，所以P?，因为A2(2,0)，所以kA2P＝＝－1， ?，Q?7?72?77??7?

2－7120＋

7

kA2Q＝＝1，所以kA2P3kA2Q＝－1，所以A2P⊥A2Q.

22－7

?2?②当直线l的斜率存在且不为0时，设为k，则直线的方程为y＝k?x－?， ?7?

3x＋4y＝12????x－2?y＝k?7?????

2

2

?49(3＋4k)x－112kx＋16k－12349＝0，

2

2

2

2

16k16k－12349设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A2(2,0)，则x1＋x2＝，x1x2＝， 22

7?3＋4k?49?3＋4k?所以kA2P3kA2Q＝

?x1－2??x2－2?24??k2?x1x2－?x1＋x2?＋?＝

2

22

y1y2

?

749?

x1x2－2?x1＋x2?＋4

2

2

2

＝

216k4?3＋4k???16k－12349－3＋k3?222??49?3＋4k?773?3＋4k?49?3＋4k??

16k－1234916k－23＋422

49?3＋4k?7?3＋4k?

2

2

k23?16k2－12349－32k2＋12＋16k2?

＝ 222

16k－12349－143163k＋4349?3＋4k?

－12348k－576k＝2＝2＝－1， ?16－16314＋49316?k576k所以A2P和A2Q垂直．

20.在平面直角坐标系xOy中，过定点C(2,0)作直线与抛物线y＝4x相交于A、B两点，如图，设动点A(x1，y1)、B(x2，y2)．

(1)求证：y1y2为定值；

(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值．

2

2

2

(3)求证：直线l：x＝1被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值．

[解析] (1)当直线AB垂直于x轴时，y1＝22，y2＝－22，因此y1y2＝－8. 当直线AB不垂直于x轴时， 设直线AB的方程为y＝k(x－2)，

??y＝k?x－2?由?2

??y＝4x

，得ky－4y－8k＝0，∴y1y2＝－8.

2

因此有y1y2＝－8为定值．

(2)∵C(2,0)，∴C点关于原点的对称点D(－2,0)， 1

∴DC＝4，S△ADB＝DC2|y1－y2|.

2

1

当直线AB垂直于x轴时，S△ADB＝34342＝82；

2当直线AB不垂直于x轴时， 4

由(1)知y1＋y2＝，因此

k|y1－y2|＝?y1＋y2?－4y1y2＝1

∴S△ADB＝343|y1－y2|>82.

2

2

16

k2

＋32>42，

综上，△ADB面积的最小值为82. (3)AC中点E(

x1＋2y1

，)，AC＝?x1－2?＋y1， 22

22

因此以AC为直径的圆的半径

r＝AC＝

1

211222

?x1－2?＋y1＝x1＋4， 22

2

2

x1＋2|x1|

AC中点E到直线x＝1的距离d＝|－1|＝，

∴所截弦长为2r－d＝2＝2(定值)．

21．(文)(20142福建文，21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.

(1)求曲线Γ的方程；

(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M、

2

2

x21＋4

|x1|2

－?? 42

N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B．试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．

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