[走向高考]（全国通用）2016高考数学二轮复习 第2部分 大专题综

5 解析几何

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(20152郑州市质检)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )

A．充要条件 C．必要不充分条件 [答案] B

[解析] 两直线垂直的充要条件为a(a＋2)－3＝0，解得a＝－3或a＝1，故选B． 2．(文)已知圆O的方程是x＋y－8x－2y＋10＝0，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是( )

A．x＋y－3＝0 C．2x－y－6＝0 [答案] A

[解析] 圆O的方程是x＋y－8x－2y＋10＝0，即(x－4)＋(y－1)＝7， 圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l，∵kOM＝1，∴kl＝－1， ∴l的方程为：y＝－12(x－3)，即x＋y－3＝0.

(理)已知动圆C经过点F(0,1)并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积( )

A．有最大值为π C．有最大值为4π [答案] D

[解析] 如图所示，由圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，可得点C的轨迹为抛物线x＝4y，显然以抛物线x＝4y上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x－4y＋20＝0相交，且此圆可无限大，即圆C的面积不存在最大值，设圆C与3x－4y＋20＝0相切于点A，其3x0－4y0＋20圆心为(x0，y0)，则由AC＝PC可得d＝＝y0＋1(点C在直线

5

3x0－x0＋201210

3x－4y＋20＝0的右方)，即＝x0＋1，解得x0＝－2或x0＝(舍去)，当x0＝－

5432时，圆心C坐标为(－2,1)，此时圆C的半径为2，即可得圆C的面积的最小值为4π，故应选D．

22

2

2

2

2

2

2

2

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

B．x－y－3＝0 D．2x＋y－6＝0

B．有最小值为π D．有最小值为4π

x2y2

3．(文)(20152江西上饶三模)已知点M(－6,5)在双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)上，

ab双曲线C的焦距为12，则它的渐近线方程为( )

A．y＝±

5x 2

25

B．y＝±x

53

D．y＝±x

2

2

C．y＝±x

3[答案] A

3625??a－b＝1，

[解析] 由条件知?a＋b＝c，

??c＝6，

222

2

2

?a＝4，

∴?b＝25，?c＝6.

∴渐近线方程为y＝±5x. 2

(理)(20152新课标Ⅱ理，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°， 则E的离心率为( )

A.5 C.3 [答案] D

[解析] 考查双曲线的标准方程和简单几何性质．

B．2 D．2

x2y2

设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点Mab作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝3a，故点M的坐标为M(2a，3

a)，代入双曲线方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝2，故选D．

4．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )

A．y＝2x C．x＝2y [答案] B

2

2

B．y＝2x D．y＝－2x

2

2

??y1＝2px12

[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y＝2px，则?2

?y2＝2px2?

2

，两式相减

可得2p＝B．

y1－y22

3(y1＋y2)＝kAB32＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y＝2x，故应选x1－x2

1

5．(文)(20152新课标Ⅰ文，5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦

2点与抛物线C：y＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )

A．3 C．9 [答案] B

[解析] 抛物线y＝8x的焦点坐标为(2,0)．因为E的右焦点与抛物线焦点重合，所以

2

2

B．6 D．12

c1

椭圆中c＝2，离心率e＝＝，所以a＝4，

a2

所以b＝a－c＝16－4，则椭圆方程为＋＝1，因为抛物线的准线方程为x＝－2，

1612当x＝－2时，y＝±3，则|AB|＝233＝6.故本题正确答案为B．

2

2

2

x2y2

x2y2

(理)过原点O作直线l交椭圆2＋2＝1(a>b>0)于点A、B，椭圆的右焦点为F2，离心率

ab为e.若以AB为直径的圆过点F2，且sin∠ABF2＝e，则e＝( )

1A. 2C.2 3

B．

2 23 2

D．

[答案] B

[解析] 记椭圆的左焦点为F1，依题意得|AB|＝2c，四边形AF1BF2为矩形，sin∠ABF2

|AF2||AF2|222222＝＝＝e，|AF2|＝2ce，|AF1|＝(2a－|AF2|)＝(2a－2ce)，|AF1|＋|AF2|＝|F1F2|，|AB|2c(2a－2ce)＋(2ce)＝(2c)，由此解得e＝2

2

2

2

，选B． 2

6．半径不等的两定圆O1、O2没有公共点，且圆心不重合，动圆O与定圆O1和定圆O2都内切，则圆心O的轨迹是( )

A．双曲线的一支 C．双曲线的一支或椭圆 [答案] C

[解析] 设⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R，且r1>r2>0，当⊙O1与⊙O2外离时，

B．椭圆 D．双曲线或椭圆

由条件知⊙O1与⊙O2都内切于⊙O，∴|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|－|OO1|＝r1－

r2,0

于⊙O1时，应有⊙O内切于⊙O1，⊙O2内切于⊙O，

∴|OO1|＝r1－R，|OO2|＝R－r2，∴|OO1|＋|OO2|＝r1－r2，∵O1与O2不重合，且r1>r2，∴r1－r2>|O1O2|，∴点O的轨迹为以O1、O2为焦点的椭圆，故选C.

y2

7．(文)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是

2－k2k－1

( )

1

A．(，2)

2C．(1,2) [答案] C

[解析] 由题意可得，2k－1>2－k>0，

??2k－1>2－k，即?

?2－k>0，?

x2

B．(1，＋∞) 1

D．(，1)

2

解得1

(理)(20142广东文，8)若实数k满足0

165－k16－k5的( )

A．实半轴长相等 C．离心率相等 [答案] D

[解析] ∵0

2

2

2

x2y2x2y2

B．虚半轴长相等 D．焦距相等

x2y2

8．(20142大纲全国理，6)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心

ab率为

3

，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为( ) 3

A.＋＝1 32C.

＋＝1 128

x2y2x2

B．＋y＝1

3D．＋＝1 124

x2

2

y2x2y2

[答案] A

c3x22

[解析] 根据条件可知＝，且4a＝43，∴a＝3，c＝1，b＝2，椭圆的方程为a33

＋＝1.

2

y2

x2y2

9．(文)已知P点是x＋y＝a＋b与双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)在第一象限内的交

ab2

2

2

2

点，F1、F2分别是C的左、右焦点，且满足|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e为( )

A．2 C.

10 2

B．D．

6 25 2

[答案] C

[解析] 设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x， ∴|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|＝10x＝4c， ∴c＝10x， 2

2

2

2

2

2

由双曲线的定义知，2a＝|PF1|－|PF2|＝2x， ∴a＝x，∴e＝＝ca10

，故选C. 2

x2y2

(理)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线上，且

abAF2⊥x轴，若

|AF1|5

＝，则双曲线的离心率等于( ) |AF2|3

B．3 D．3

A．2 C.2 [答案] A

[解析] 设|AF2|＝3x，则|AF1|＝5x， ∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x，

由双曲线的定义知，2a＝|AF1|－|AF2|＝2x， ∴a＝x，∴e＝＝2.

10．(文)过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直→→→→

线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF＝FB，BA2BC＝36，则抛物线的方程为( )

A．y＝6x C．y＝12x [答案] D

[解析] ∵F(，0)，设A(x0，y0)，y0>0，则C(－，y0)，B(p－x0，－y0)，由条件知p22

22

2

caB．y＝3x D．y＝23x

2

2

pp

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