广东省各地2010年高三数学联考试题分类汇编(3)数列(3)

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11(1?)n126n?126?26?1?1?1 ＝?n?1n?212562526625261?2611??n?2(n?N?)----------------------------------------------14分 ∴对?n?N有|y2n?yn|?6252620．（本题满分14分）

已知曲线C：xy?4x?4?0，数列{an}的首项a1?4，且当n?2时,点(an?1,an)恒在曲线C上，数列{bn}满足bn?1.

2?an（1）试判断数列{bn}是否是等差数列？并说明理由；

（2）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（3）设数列{cn}满足anbn2cn?1，试比较数列{cn}的前n项和Sn与2的大小. 20．解：（1）∵当n?2时,点(an?1,an)恒在曲线C上

∴an?1an?4an?1?4?0-----------------------------------------------1分 由bn?1得

2?an当n?2时，bn?bn?1?an?an?111 ??2?an2?an?14?2an?1?2an?anan?1?an?an?11??----5分

?2an?2an?12an?an?1?4?2an?1?2an?4an?1?4∴数列{bn}是公差为?（2）∵a1＝4，∴b1?1的等差数列.-------------------------------------------------------6分 211?? 2?a12111∴bn???(n?1)?(?)??n-----------------------------------8分

222由bn?1得an?2?1?2?2-----------------------------------------------10分 2?anbnn1211?＝2(?)----------------------12分 2nn?1anbnn(n?1)111111)?2-----14分 ?cn?2[(1?)?(?)??(?)]?2(1?n?1223nn?1（3）∵anbn2cn?1 ∴cn?∴Sn?c1?c2?18．（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）（本小题满分14分）在等差数列{an}中，设Sn为它的前n项和，若S15?0,S16?0,且点A(3,a3)与B(5,a5)都在斜率为－2的直线l上，

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（Ⅰ）求a1的取值范围； （Ⅱ）指出

S1S2,,a1a2,S15中哪个值最大，并说明理由． a15a5?a3??2,则公差d??2, …………………2分 5?318．解（Ⅰ）由已知可得

15?14?S?15a??d?15(a1?14)?0151??2????14?a1?15…………………7分 ?S?16a?16?15?d?16(a?15)?01611??2（Ⅱ）最大的值是

S8 …………………8分 a8S15?15a8?0 S16?8(a8?a9)? 0 …………………10分 ?a8?0,a9?0 即S8最大 …………………11分

又当1?i?8时，

SiS?0；当9?i?15时，i?0，数列{an}递减…………………13分 aiai?S8S9SS??????15?8最大…………………14分 a8a9a15a82所以，

S1S2??a1a220（．广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）（本小题满分14分）已知函数f(x)?x?2x. （Ⅰ）数列{an}满足:a1?1,an?1?f?(an),求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）已知数列{bn}满足b1?t?0,bn?1?f(bn)(n?N*)，求数列{bn}的通项公式； （Ⅲ）设cn?bn?1,数列{cn}的前n项和为Sn，若不等式??Sn对所有的正整数n恒成立，bn?1求?的取值范围。

20、(本小题满分14分)

解：（I）f?(x)?2x?2，???1分 ?an?1?2an?2 ?an?1?2?2a )(n?2

n?1…………4分 {an?2}为等比数列,?an?2?(a1?2)2n?1 ?an?3?2?2（Ⅱ）由已知得bn?0， bn?1?1?(bn?1)2,??1分?lg(bn?1?1)?2lg(bn?1), ∴又lgb(1?1?)tl?g(?1所)以0{,lgbn(?1的)公比为2的等比数列，∴

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bn?(t?1)2?1。………8分

（Ⅲ）

n?1ck?1?bk2?2bk,?bk?2?bk?1b?1(bk?2)?111， ,ck?k???bk?1bk?1bkbk?1bkk?1,2,?,n

?Sn?c1?c2??cn?(1111?)?(?)?b1b2b2b3?(1111, ?)??nt(t?1)2?1bnbn?1t?0,?t?1?1,?Sn在n?[1,??)上是增函数

11t?1?, 又不等式??Sn对所有的正整数n恒成立，?Sn?S1??22t(t?1)?1t?2t???t?1, 2t?2tt?1)????14分 t2?2t故?的取值范围是(??,21．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)（本小题满分14分）

在单调递增数列{an}中，a1?1，a2?2，且a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，

a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列，n?1,2,3,?．

aaaa（1）分别计算3,5和4,6的值；

a1a3a2a4（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；

4n1（3）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn?，n?N*．

n?2an2a3329解：（1）由已知，得a3?2a2?a1?2?2?1?3，a4???，

a222a5?2a4?a3?2?9?3?62，

2a562a6???8． ??????????2分

9a42（2）（法1）∵a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，∴a2n?1?2a2n?a2n?1，n?1,2,3,?； ∵a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列，∴a2n?2又

2a2?n?1，n?1,2,3,?． a2na33a54a75a9a16a25?，?，?，……；4?，6?，8?，…… a11a32a53a24a49a616亿库教育网 http://www.eku.cc

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2∴猜想

a2n?1n?2?a2n?1n，

a2n?2?n?2????a2n?n?1?2，

n?N*， ??????????4分

以下用数学归纳法证明之．

aa31?2a2?1?2a49?1?2?①当n?1时，2?1?1?3??，?????，猜想成立；

a2?1?1a111a2?1a24?1?1?ak?2a2k?2?k?2?②假设n?k(k?1)时，猜想成立，即2k?1?，???，

a2k?1ka2k?k?1?2a22?k?1?a2k?1a2a2k?2?a2k?1a2k2a那么2k?3???2k?1?1

a2k?1a2k?1a2k?1a2kak?24?2k?14?2a2k?1a2k?1k?1??1??1?a2k?1?a2k?1ak?21?1?2k?1k2a2k?12(k?2)(k?1)?2??1?，

k?1k?12a2k?322?2a2k?2?a2k?1?a2k?4a2k?2?a2k?3??? ?????????a2k?2a2k?2?a2k?2?a2k?2??2?2a2k?2?a2ka2k?2???a2k?2?2????2?a2k?2??2?1?a2k?????a2k?2????a2k??2k?2??2?1??2???(k?1)?2k?1??????． k?2(k?1)?1??????k?1??∴n?k?1时，猜想也成立．

由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，猜想成立． ?????6分 ∴

a2n?1?a1?，

a3a5a7aa345nn?1n(n?1)???????2n?3?2n?1?1??????123n?2n?12a1a3a5a2n?5a2n?3aa4a6a8?????2na2a4a6a2n?222a2n?a2?22(n?1)2?3??4??5??n?1?． ?2???????????????234n2???????????8分

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an?2（注：如果用数学归纳法仅证明了

2n?1a?，n?N*， 2n?1n则由

an(n?1)2n?1?2，n(n?1)(n?1)(n?2)2n?a?2n?1?a2n?12?22(n?1)22?2； 如果用数学归纳法仅证明a22n?2a???n?2??，n?N*，

2n?n?1?则

由

a(n?1)22n?2，aa(n?1)2(n?2)2(n?1)(n?2)2n?1?2na2n?2?2?2?2， 又a1?(1?1)n(n?1)1?1?2也适合，∴a2n?1?2．）

n?1?n?1?∴当n为奇数时，a2??2?1???(n?1)(n?3)n?28；

??n?1?2?当n为偶数时，a?2?(n?2)2n?2?8． ?(n?1)(n?3a?),n为奇数即数列{?8n}的通项公式为an??． ???9分?(n?2)2 ??8,n为偶数（注：通项公式也可以写成a1217?(?1)nn?8n?2n?16）（法2）令ba2n?1n?a，n?N*，则

2n?12ba?2a2k?2?a2?a2k?1?a2k?12k?1?a2k?2a2k?1n?1?2k?3a?1

2k?1a2k?1a2k?1a2k4?a2k?1?2a2k?1a?1?a2k?1?1?4bn?1． 2k?1?a2k?1a2k?11?21?bna2k?1∴b1?2(bn?1)1?(bn?1)?211n?1?1?b，b??．

nn?1?12(bn?1)2bn?1从而111b??（常数），n?N*，又1?1，

n?1?1bn?12b1?12亿库教育网 http://www.eku.cc

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