山东省09届高三文科数学期末章节分类试题 - 圆锥曲线(3)

所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，N点所在直线

方程为x?4?0. 17?2y2?1?x? 由?得(4?k2)x2?4k2x?4k2?4?0. 4?y?k(x?2)? 由△= 16k?4(4?k)(4k?4)?0,?k?42224. 3?4k24(k2?1)2323,x1x2?. 即??k?. … x1?x2?334?k24?k2 ?ON?OA?OB,即AN?OB，∴四边形OANB为平行四边形 假设存在矩形OANB，则OA?OB?0，即x1x2?y1y2?0， 即(k2?1)x1x2?2k2(x1?x2)?4k2?0，

116k2?4k??. … ?0 于是有 得224?k4k24??设N(x0,y0),由ON?OA?OB得x0?x1?x2??，

174?k2即点N在直线x??4上. 171(x?2). 2 ∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为y??9．【枣庄·文科】22．（本小题满分14分）

如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过

点M（2，1）。平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m?0)，且交椭圆于A，B两点。

（I）求椭圆的方程； （II）求M的取值范围；

（III）求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形。

x2y2【解】（I）设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0),

ab?a?2b2?x2y2??a?8,则?4??2所求椭圆的方程为??1. …………4分 182?2?1?b?2.??2b?a

11

（II）?直线l//OM且在y轴上的截距为m,?直线l:y?1x?m. 21?y?x?m??222?x?2mx?2m?4?0. …………6分 由?22?x?y?1?2?8?直线l交椭圆于A，B两点，

???(2m)2?4(2m2?4)?0??2?m?2(m?0). …………8分

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，则问题只需证明k1?k2?0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则k1?y1?1y?1,k2?2.由x2?2mx?2m2?4?0得x1?2x2?2x1?x2??2m,x1x2?2m2?4.????10分又y1?11x1?m,y2?x2?m,代入22(y?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)k1?k2?1,整理得(x1?1)(x2?2)k1?k2?x1x2?(m?2)(x1?x2)?4?4m(x1?2)(x2?2)

2m2?4?(m?2)(?2m)?4?4m??0.????13分(x1?2)(x2?2)?k1?k2?0,从而直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形。 …………14分

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12

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