山东省09届高三文科数学期末章节分类试题 - 圆锥曲线(2)

而

x1?x2?411 ??x1?2x2?2x1x2?2(x1?x2)?48k2?4(3?4k2)2k2?1 ?2?2224k?12?16k?4(3?4k)3k从而kAM?kAN2k2?111?k(2?3?)????………………13分 2k23k求得k?2符合k?1.

故所求直线MN的方程为：y?2(x?1).………………14分 3．【09届济宁·文科】22．（本小题满分14分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y?离心率为

12x的焦点，425． 5（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA??1AF，

MB??2BF，求?1??2的值．

x2y2【解】 （1）设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，

ab 抛物线方程化为x2?4y，其焦点为(0,1)，

椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b?1， …………………………………………3分

ca2?b2252 由e??，得a?5， ?aa5x2?y2?1．……………………………………………………6分 ∴椭圆C的方程为5 （2）由（1）得F(2,0)， …………………………………………………………7分

设A(x1,y1) B(x2,y2)，M(0,y0)，显然直线l的斜率存在，

x2?y2?1，并整理得 设直线l的方程为y?k(x?2)，代入5(1?5k2)x2?20k2x?20k2?5?0， ………………………………………9分

6

20k220k2?5x1?x2?,x1x2?∴． ………………………………………10分

1?5k21?5k2又MA?(x1,y1?y0),MB?(x2,y2?y0)， AF?(2?x1,?y1),BF?(2?x2,?y2)， 由MA??1AF，MB??2BF，得

(x1,y1?y0)??1(2?x1,?y1)，(x2,y2?y0)??2(2?x2,?y2)，

∴?1?x1x2， ………………………………………………12分 ,?2?2?x12?x2x1x22(x1?x2)?2x1x2???10． ………………14分 2?x12?x24?2(x1?x2)?x1x2∴?1??2?4．【临沂一中·文科】21．(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0,?1)，且其右焦点到直线x?y?22?0 的距离为3． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为k(k?0)，且过定点Q(0,3)的直线l，使l与椭圆交于两个不同的

2点M、N，且|BM|?|BN|？若存在，求出直线l的方程;若不存在,请说明理由．

2y2x【解】（Ⅰ）设椭圆的方程为2?2?1,(a?b?0),

ab由已知得b?1. ……………………………………………………………………1分 设右焦点为(c,0)，由题意得c?22?3,?c?2.…………………………2分

2?a2?b2?c2?3.……………………………………………………………………3分

2x?椭圆的方程为?y2?1. ………………………………………………………4分 3（Ⅱ）直线l的方程y?kx?3，

2代入椭圆方程,得

(1?3k)x?9kx?15?0. …………………………………5分

224 设点M(x1,y1),N(x2,y2),

7

则x1?x2??9k2.…………………………………………………………………6分

1?3k设M、N的中点为P， 则点P的坐标为(?9k2,2?6k3).……………………………………………7分 2?6k2?|BM|?|BN|,?点B在线段MN的中垂线上.

?kBP3?12??1?2?6k.…………………………………………………………8分

k?9k2?6k232化简,得k?2.……………………………………………………………………10分

2由??0得,k?5.

12?2?5.?k??6.………………………………………………………………11分 3123所以,存在直线l满足题意，直线l的方程为

6x?y?3?0或6x?y?3?0.…………………………12分 3232y2?1的焦5．【临沂高新实验中学】21．（本小题满分12分）已知，椭圆C以双曲线x?32点为顶点，以双曲线的顶点为焦点。 （1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以线

段MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

x2y2??1.（4分） 【解】（1）椭圆方程为43（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，将y?kx?m代入椭圆方程得

(4k2?3)x2?8kmx?4m2?12?0

?8km4m2?12x1?x2?2,x1x2?,（6分） ∴

4k?34k2?3∵y1?kx1?m,y2?kx2?m,y1y2?kx1x2?km(x1?x2)?m, 又以MN为直径的圆过点A（2，0），

∴AM?AN?0,即x1x2?2(x1?x1)?4?y1y2?0, ∴7m?16km?4k?0,

8 2222

2k或m??2k,且满足??0，（9分） 7若m??2k，直线l恒过定点（2，0）不合题意舍去，

222若m??k,直线l:y?k(x?)恒过定点(,0)

777m??∴

6．【潍坊市四县一校】21．(本小题满分12分)

22设p:实数x满足x?4ax?3a?0,其中a?0,命题q:实数x满足

2??x?x?6?0,. ?2??x?2x?8?0.(Ⅰ)若a?1,且p?q为真，求实数x的取值范围； (Ⅱ)若?p是?q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 【解】由x?4ax?3a?0得(x?3a)(x?a)?0， 又a?0,所以a?x?3a,

当a?1时，1

2??x?x?6?0由?2,得2?x?3,即q为真时实数x的取值范围是2?x?3. ……4分 ??x?2x?8?022若p?q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2?x?3. …………6分 (Ⅱ) ?p是?q的充分不必要条件，即?p??q,且?q设A={x|?p},B={x|?q},则A???p, ……………8分

B,

又A={x|?p}={x|x?a或x?3a}, B={x|?q}={x?2或x?3}， ……………10分 则0

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线

y?1225x焦点,离心率为. 45 （1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，

若MA??1AF,MB??2BF,求?1??2的值。

x2y2【解】（1）解：设椭圆C的方程2?2?1(a?b?0) …………1分

ab抛物线方程化为x2=4y，其焦点为（0，1） …………2分

则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1 …………3分

ca2?b225由e???,?a2?5, 2a5a 9

x2?y2?1 …………6分 所以椭圆C的标准方程为5 （2）证明：易求出椭圆C的右焦点F（2，0）， …………7分

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0)，显然直线l的斜率存在，

x2?y2?1并整理， 设直线l的方程为y?k(x?2),代入方程5得(1?5k2)x2?20k2x?20k2?5?0 …………9分

20k220k2?5?x1?x2?,x1x2? …………10分 221?5k1?5k又,MA?(x1,y1?y0),MB?(x2,y2?y0),AF?(2?x1,?y1),BF?(2?x2,?y2),而MA??1AF,MB??2BF,即(x1?0,y1?y0)??1(2?x1,?y1),(x2?0,y2?y0)??2(2?x2,?y2)??1?x1x2,?2?,????12分2?x12?x2x1x22(x1?x2)?2x1x2????10????14分2?x12?x24?2(x1?x2)?x1x2

所以?1??1?8．【郓城实验中学·文科】22．（本题满分14分）

在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点

P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足. （1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程；

（2）过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点(?4,0)，且以a?(0,1)

17为方向向量的直线上一动点，满足ON?OA?OB（O为坐标原点），问是否存在这样

的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明文由.

【解】（1）设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P（x1，y1）是方程x2 +y2 =4的圆上的任意

一点，则P?(0,y1).

x1?x???x1?2x?2,即?,代入4x2?y2?4得， 则有：??y1?y?y?y1?y1?2?y2?1. 轨迹C的方程为x?42 （1）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.

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