正定矩阵的判定、性质及其应用(3)

正定矩阵的判定、性质及其应用

?a1????有PTAP?P?1AP??? 其中a1?an 均为矩阵A的特征值。那么A所对?an???应的二次型为f?x1,x2,?xn??XTAX，其中令X?PY。则有

?a1???Tf?x1,x2,?xn??XTAX??PY?APY?YTPTAPY?YT???Y?g?y1y2?yn??an?????又因为g?y1,y2?yn??0 即其为正定二次型。所以a1,a2?an 均大于零，即A的特征值均大于零。

定理7：n阶实对称矩阵A是正定的充要条件是该矩阵对角线上各个元素均大于零。

注：（1）正定矩阵必须为对称矩阵。所以在判定一个矩阵是否为正定矩阵的时候必须先判定该矩阵是否为对称阵，若不是则一定不是正定矩阵，若是则可继续对其进行判定。（2）在题目若给出的是一个含有具体数字的实对称矩阵A，那么要判断矩阵A是否为正定矩阵，则要验证A的各阶顺序主子式是否都大于零。若均大于零，则为正定矩阵，否则不是正定矩阵。（3）在题目中若给出的是一个不含具体数值的抽象矩阵，则证明矩阵是否正定通常使用以下两种方法：方法1 利用定义：即对任意列向量x?0，恒有二次型xTAx?0,则矩阵A为正定矩阵。方法2 利用特征值：如果矩阵A的特征值全部大于零则可得出矩阵A为正定矩阵[11]。

例1：当?取何值时，f?x1?4x2?4x3?2?x1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型？

22?1??1???解：设二次型f的矩阵A???42?，则

??124??? ?1?1，?2???4??2，?3???411??12??4???1????2? 44?12由二次型正定的充要条件可知当?2?0，?3?0时f正定。

由?2?0得?2???2；由?3?0得?2???1。于是，?2???1当且仅当f为正定二次型。

例2：设n阶实对称矩阵为A，且满足A4?4A3?7A2?16A?12E?0，证明矩阵A是正定矩阵。

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咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

证:设Ax??x,即?是A的特征值，x是A的特征向量，由题可以得出：

0?(A4?4A3?7A2?16A?12E)x?(?4?4?3?7?2?16??12E)x 由x?0得(?4?4?3?7?2?16??12E)?(??1)(??3)(?2?4)?0 显见，原式的特征值为?1?1，?2?3，?3??2i

又因为实对称矩阵的特征值为实数，所以根据上式可得A的特征值为1和3，又1和3均为大于零的数，从而矩阵A是正定矩阵。

3 正定矩阵的性质

性质1[12]：正定矩阵主对角线上的元素全大于零。

证：设正定矩阵为A，得对任一非零向量X，都有XTAX?0。取

X?(0,0?ei,0?0)，则有eiAei?aii?0?i?1,2?n?，所以正定矩阵A的主对角

TT线上元素全大于零。

性质2：正定矩阵的行列式必大于零且正定矩阵一定可逆。

性质3：若A是正定矩阵，则A?TTT(其中T是主对角线上元素全大于零的上三角形矩阵)。

证：因为正定矩阵A可以写为A?QTQ，其中Q为可逆矩阵。

再设Q?UT其中U为正交矩阵T为主对角线上元素全大于零的矩阵，所以

A?(UT)TA(UT)?TT(UTU)T?TTT。

性质4：若A是正定矩阵，则A的逆矩阵、伴随矩阵及A?AT、各阶主子矩阵均为正定矩阵。

证：因为A正定，则A?1CAC?E，则CT?1????A??A。又C为存在的一个可逆实矩阵，使得A?C??E 即??C??A?C??E。所以A是正定矩阵

TT?1?1?1T?1T?1T?1?1T?1注：类似可证得正定矩阵A的伴随矩阵A*也为正定矩阵。

性质5：若A是可逆矩阵，则对任意n阶可逆矩阵P，PTAP是正定矩阵。 性质6：若正定矩阵A,B为n阶正定矩阵，则A?B也为正定矩阵。

证：由A,B正定，故?A?B??AT?BT?A?B,所以A?B是对称矩阵。对于任

T意非零列向量X,有XTAX?0，XTBX?0,从而XT?A?B?X?0,故

XT?A?B?X?0正定,所以A?B为正定矩阵。

4 正定矩阵的应用

4.1 正定矩阵在证明不等式中的应用

例1 证明：x2?4y2?2z2?2xy?2xz(x,y,z均不等于零) 证：由原题可设

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正定矩阵的判定、性质及其应用

f?x,y,z?=x2?4y2?2z2?2xy?2xz

?1?11??x?????f?x,y,z?=?x,y,z???140??y?

?102??z??????1?11???易得：A???140?的各级顺序主子式均大于零，即A为正定矩阵，进而

?102???1A??11?1140又因为x,y,z均不等于零，所以f?x,y,z??0，则命题得证。0?0。

2例2 设A是n阶正定矩阵，证明A?2E?2n

证：设矩阵A的特征值为?1,?2??n，由A正定可知?i?0?i?1,2,??n?。又由所以A?2E???1?2????n?2??2n。 A?2E可知其特征值为?1?2,?2?2??n?2，

4.2 正定矩阵在数学分析中的应用

定理[13]：n元实函数f?x1,x2?xn?的一阶偏导数等于零的点为X0??x10,x20?xn0?,且在点X0处具有二阶连续偏导数,

???则黑塞矩阵H?X0?=????fx1x1fx2x1?fxnx1fx1x2fx2x2?fxnx2???fx1xn??fx2xn??X?为正定矩阵时，f?x0?为f?x?的极???fxnxn??小值；当H?X0?为负定矩阵时，f?x0?为f?x?的极大值；当H?X0?为不定矩阵时，

f?x0?不是f?x?的极值。

例3 求函数f?x,y,z?=4x2?2y2?z2?2xy?2x?4的极 解：fx?8x?2y?2，fy?4y?2x，fz?2z 令fx=fy=fz=0，则x=

216?216?，y=，z?0，即驻点X0??,,0?。 77?77?又由fxx?8，fyy?4，fzz?2，fxy?fyx??2，fzx?fxz?0，fyz?fzy?0知

?8?20???f?x,y,z?有二阶连续偏导数，所以H?X0?=??240?且易得H?X0?的各阶顺

?002???

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?216?序主子式全大于零，即H?X0?为正定矩阵，故而f?x,y,z?在?,,0?处有极小

?77??216?564值且f?,,0??。

7749??4.3正定矩阵的其他应用

例4 证明：A是正定矩阵的充要条件是存在n阶正定矩阵B使得A?B2。 证：充分性 因为矩阵A是正定矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得

??1????1TQAQ?QAQ??????,其中?i?0?i?1,2??n?

??n??? 则：

??1?TA?Q?Q?Q????????1?????????n??????QT???n????1?Q????????1??T?QQ??????n??????1??T2?Q?B,其中B?Q??????n??????QT其??n??中?i?0，易得B为正定矩阵。

必要性 已知A?B2，其中B是正定矩阵。由于AT?BT??2?B2?A,所以矩

阵A是实对称矩阵。设B的特征值为?1,?2???n，由上矩阵B为正定矩阵知

?i?0?i?1,2,??n? 而A的特征值为?i2?0，故矩阵A是正定矩阵。

例5 设A为n?m实系数对称矩阵，证明：r?A??n的充要条件是存在一实系数

n?n矩阵B，使得AB?BTA正定。

证：必要性 因为AB?BTA??AB?T?AB?BTA?AB，所以AB?BTA为对称矩阵。若r?A??n，则A?1存在，令B?A?1，则： AB?BTA?AA?1?A?1AT?E?AA?1?2E， 由此可知AB?BTA正定。

充分性 已知AB?BTA正定，则对?x?Rn且x?0有

??T??T??xTAB?BTAx??Ax?Bx??Bx?Ax?0，由上式可知Ax?0，从而Ax?0仅有零

TT??解，故r?A??n。

例6 设A,B都是n阶正定矩阵且AB?BA，证明：AB是正定矩阵。

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正定矩阵的判定、性质及其应用

证：因为?AB?T?BTAT?BA?AB，所以AB为对称矩阵。

又因为A.B是正定矩阵，由例4知存在正定矩阵U,V使得A?U2，B?V2。于是，

U?1?AB?U?U?1U2V2U?UV2U??VU??VU??C得：C与AB相似。

T由于CT??VU??VU??C,所以C是实对称矩阵。又对任意实n维列向量x?0，

T由VU可逆知VUx?0，从而

xTCx?xT?VU??VU?x??VUx??VUx??0TT

即：矩阵C为正定矩阵，由此可得矩阵C的全部特征值都大于零，进而AB的特征值大于零，所以AB为正定矩阵。

例7 设n阶实对称矩阵A满足A2?2A2?3A?0，且r?A??r,又A的正惯性指数为k，其中n?r?k?0，求2E?A的值。

解：设Ax=?x，即A的特征值是?，A的特征向量x是由A2?2A2?3A?0 ， 得

?A2?2A2?3Ax??2?2?2?3?x?0。

???又由于x?0，则?2?2?2?3??????1????3??0 得?1?0,?2??1,?3?3。 因为A是实对称矩阵，所以矩阵A与对角矩阵相似。又因为r?A??r和正惯性指数为k，知3是A的k重特征值，-1是A的r?k重特征值，0是A的n?r重特征值。于是存在n阶正交矩阵Q，使得

?3Ek? Q?1AQ???????Er?k??? On?r???Ek则2E?A?2E?Q?Q?1?Q(2E??)Q?1?3Er?k2En?r???1?3r?k2n?r。

k小结

本文主要介绍了正定矩阵的定义、判定、性质及其应用，并且对部分判定和性质进行了证明，对我们能更深入的了解正定矩阵奠定了一些基础。在高等代数的研究中还有对正定矩阵更深入的研究和发现，比如广义正定矩阵，但由于我目前还没有接触到，所以有待我做进一步的学习和归纳总结。

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