正定矩阵的判定、性质及其应用(2)

正定矩阵的判定、性质及其应用

引言

在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。

在古代，西尔维斯特为了将数字矩形阵列和行列式区别开来，他便创立了“矩阵”，而后由凯莱第一个明确了“矩阵”这个术语的确切意思。事实上，早在我国古代就已经对矩阵有所研究了。[1]在公元前1世纪，在《九章算术》中矩阵形式解方程组已经非常成熟了，但是在那个时代矩阵只是被人们看做是一种解题的方法，而“矩阵”这一概念并没有被独立起来，形成一个统一完整的体系。矩阵在求解线性方程组和行列式计算等问题中得以广泛应用是在18世纪末的时候，并且从那时起矩阵思想才得到进一步的发展。[2]

[3] 矩阵论中正定矩阵有着十分重要的地位。历史上，在对于二次型和Hermite

型的探究中最早出现了对正定矩阵的详细探究。二次齐次多项式是代数研究中另外一种非常重要的多项式，二次齐次多项式在数学的大多数分支中都有重要的应用，而且在解答与物理问题相关的内容中大家也会经常碰到需要运用正定二次型作解。正定二次型在二次型中占有及其特殊的地位，并且由正定二次型的系数可以直接写出正定矩阵。因此，无论是在研究中还是实际的应用中正定二次型和正定矩阵都有重要的意义。[4]如今，矩阵已经成为了处理有限空间和数量关系的重要的工具。

正定矩阵在矩阵的研究中占有十分重要的地位，对于正定矩阵的研究有利于我们日后更加详尽的研究二次型、线性空间和线性变换。 下面我首先介绍正定矩阵的定义。

1 正定矩阵的定义 1.1 正定二次型的定义

定义1[5]：在实二次型f?x1,x2,?xn?中若对于任意一组不全为零的实数则称该二次型为正定的;若f?x1,x2,?xn??0，c1,c2,??cn都有f?x1,x2,?xn??0，

则称f为半正定二次型；若f?x1,x2,?xn??0，则称f为负定二次型；若

f?x1,x2,?xn??0，则称f为半负定二次型；若实二次型既不是半正定又不是半负定的则称为不定二次型。

1.2 正定矩阵的定义

定义2：若实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX正定，则称实对称阵A正定;若实二次

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咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

型f?x1,x2,?xn??XTAX半正定，则称实对称阵A半正定；若实二次型

f?x1,x2,?xn??XTAX负定，则称实对称阵A负定；若实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX半负定，则称实对称阵A半负定；若实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX不定，则称实对称阵A不定。

事实上，正定二次型与元数有关系，例如x1?x2 当作为二元实二次型时正

x2?0，定（取任何不为零的数即可）；但当作为三元实二次型时不正定（取x1?0，

22x3?1则结果不满足

[6] ）。

2 正定矩阵的判定

[7]

定理1： n元实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX是正定的充要条件是它的标准形

的系数全为正。

?a11??a21证: 因为 A=????a?n1a12a22?an2?a1n???a2n? 对A作合同变换，即 ????ann???a11?a21?A?E???????a?n1a12?a1n1a22?a2n??an2?ann??d1??1?????????1???b11d2?dnb21?b12b22?bn1bn2?b1n???b2n?????bnn???b11b12?b1n???b?b2n??b取C??2122作非线性退化X?CY，则实二次型的标准形为 ???????b??n1bn2?bnn?f?x1,x2,?xn??d1y1?d2y2???dnyn

222又因为A为正定矩阵且正定矩阵作非退化线性替换其正定型不变，即

?d1???d1d?0也是正定矩阵。则，?d??d1d2?0，????11d2??dn??d1?dn形的系数全为正。

定理2[8]：n元实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX是正定的充要条件是它的正惯性指数为n。

?d1?dn?0即d1?0， d2?0，?? dn?0，所以实二次型的标准

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正定矩阵的判定、性质及其应用

证：因为f?x1,x2,?xn??XTAX是正定的，所以矩阵A是正定矩阵，则

f?x1,x2,?xn??XTAX

T那么f?x1,x2,?xn??XAX可化为f?x1,x2,?xn???aixi2，且ai?0?i?1,2,?,n?由此可得，正惯性指数为n。

矩阵，根据定理1可得矩阵A为正定矩阵。

推论：实对称矩阵A正定的充要条件是A的正惯性指数等于A的级数。 定理3：n阶实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f?x1,x2,?xn??XTAX的秩与符号差均为n。

证：必要性 因为A是实对称正定矩阵，所以实对称矩阵A所对应的实二次型的正惯性指数为n、负惯性指数0，从而可得实二次型符号差为n。

因为矩阵A的主对角线上的元素对应n元实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX的系数，又矩阵A为正定矩阵，所以正定矩阵A的主对角线上的所有数全部大于零，进而可推出正定矩阵A的秩为n。

充分性 因为二次型f?x1,x2,?xn??XTAX的秩与符号差均为n，所以

i?1n反之，若该n元实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX的正惯性指数为n，且A为对称

f?x1,x2,?xn??XTAX正惯性指数为n，从而由定理2可得矩阵A为正定矩阵。 定理4[9]：n阶实对称矩阵A是正定的充要条件是A与单位矩阵E合同，即存在实可逆矩阵C，使的A?CTC。

证：n阶实对称矩阵A正定的充要条件是n元实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX正定，当且仅当A的正惯性指数为n，当且仅当A与单位矩阵E合同。 定理5：n阶实对称矩阵A??aij?m?n是正定的充要条件是A的顺序主子式?0 证：必要性 设实二次型f?x1,x2,?xn????aijxixj是正定的。将任意一组不

i?1j?1nn全为零的实数c1,c2?cn代入实二次型f?x1,x2,?xn????aijxixj,有

i?1j?1nn因此，fy?x1,x2?xn?是正定二fy?c1,c2?cn????aijcicj?f?c1?cn,0?0??0。

i?1j?1nna11a12??a1k??0,k?1,2?n。这就证明

次型的。由此，fy的矩阵的行列式

a21?ak1a22?a2kak2?akk了矩阵A的顺序主子式全大于0。 充分性 对n作第二数学归纳法

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（1）设当n?1时，f?xi?=a11x1，由题可得 a11?0,则易得f?xi?是正定的。

2（2）假设当n?m?1时，命题成立。 （3）下面证明n元时的情形：

?a11??a21 令A1?????a?n?1,1a12a22?an?1,2?????a1n?????，a????

?a???nn???an?1,n?1?a1,n?1a2,n?1??A1于是矩阵A可以写成A???aT?a?? ?ann?因为A的顺序主子式全大于零，从而A1的顺序主子式也全大于零。

由假设A1是正定矩阵，则存在一个可逆的n?1阶矩阵G，使得GTA1G?En?1

?GT?G0?T令C1???01??，于是C1AC1???0????En?1?GTa??，有 再令 C2???01???0??A1???aT1???a??G0??En?1GTa?? ???????T??ann??01??aGann??0??En?10??En?1GTa??En?1?GTa??En?1????=?? ?CCAC1C2??TT???aTG1??aTGa??0??0a?aGGa1?????nn?nn??T2T1?1???2?1?CA?a 令 C?C1C2，ann?aTGGTa?a 就有 CTAC??，进而有?????a???由条件，A?0，因此a?0。显然：

?1??1????1??1 ??=????????a??????1??1??????1??1????????????a?1????????? ?a??即矩阵A合同于单位矩阵，从而得出A是正定矩阵，进一步可得

XTAX??PY?APY?YTPTAPY?YT实二次型f?x1,x2,?xn?是正定的。

T??定理6[10]： n阶实对称矩阵A是正定的充要条件是A的特征值都大于零。 证：因为矩阵A为正定矩阵，所以存在一个正交矩阵p，使得pT?p?1 ，进而

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