理论力学题库第五章(6)

rMm

7.半经为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试用虚功原理证明棒的全长为：

第3.20题图4?c2?2r2? l?c

解：建坐标如图示，棒受主动力为重力，作用点在质心c上，方向竖直向下，即P??mgj 由虚功原理得

???AF???mgj????xi??yj???mg?y?0 由图可知y???c??sin?

?????l?2?4r2?c2l?4r2?c2?又由几何关系知sin?? 所以y???c??

2r22r???4r2?c2l?11??y????c??c??4r2?c22r2?2r2???对c求变分得

??1?12???2c?c????

4r2?c2??24r2?c2?c?2c?l??c4r????4r2?c2代入虚功原理得mg?24r2?c2?c?2c?l??c?0

4r????22由于?c?0 故24r?c?c?2c?l??0

??4c2?2r2整理得l?

c

8.五根长度相同的匀质杆，各重为P用铰连接，与固定边AB成正六边形，设在水平杆的中点施力F以维持平衡，用虚功原理求力F之大小？

??

解：设六边形边长为a，建坐标系如图，取角?为广义坐标

由虚功原理得：

??AF?2p?y1?2P?y2?P?y3?F?y3?0

aa3acos?,y2?acos??cos??cos?,y3?2acos? 222a3asin????，?y2??2asin???? 变分?y1??sin????，?y2??22由几何关系知 y1?代入虚功原理

?a??3a?2P??sin?????2P??sin?????P??2asin?????F??2asin???? ?2??2???6Pasin????2Fasin??????6P?2F?asin????0由于?的任意性，sin??0,???0

所以 F?3P

9.等边六角形连杆铅直放置，各杆间用光滑铰链连接，底边固定不动，C、D点用绳拉紧，连杆AB中点受力Q作用，已知平衡时∠ACD=α，试用虚功原理求平衡时Q与绳内张力T之间的关系？

解：设六边形边长为a，建坐标系如图，取角?为广义坐标

由虚功原理得：

??AF??Q?y1?T?xC?T?xD?0

aa?acos?),xD??acos? 22由几何关系知 y1?2asin?,xC??(变分?y1?2acos????,?xC?asin????,?xD??asin???? 代入虚功原理

?Q2acos?????Tasin?????Tasin?????0

(?Qcos??Tsin?)2a????0由于的?任意性，???0 所以Q?Ttan?

10.如图所示平面机构有五根长度相同的匀质杆与固定杆AB组成一正六边形，杆AF中点与杆BC中点有一刚度系数为k的水平弹簧相连，已知各杆长度用弹簧原长均为l，其重量与各铰接处摩擦均不计，若在ED中点作用一铅垂力F，则此机构平衡时角?的大小为多少。

解：以AB杆中点为原点建立坐标系，ox轴沿AB方向，oy轴竖直向上。解除弹簧约束以力T1、T2代替。由由虚功原理得：

??AF?T1?x1?T2?x2?F?YF?0

llll?cos?),x2??cos? 2222ll变分得?yF?2lcos????,x1?sin????,x2??sin????

22由几何关系知 yF?2lsin?,x1??(代入虚功原理T1?sin??????T2??又T1?T2?k?x?k?2??l?2???l?sin??????F?2lcos??????0 ?2?lcos??klcos? 2klcos??lsin?????2Flcos?????0,?klsin??2F????0

由于???0 故??arcsin??2F?? ?kl?11.图示系统，均质轮C质量为m1，半径为R1，沿水平面作纯滚动，均质轮O的质量为m2，半径为R2，绕轴O作定轴转动。物块B的质量为m3，绳AE段水平。系统初始静止。

求：（1）轮心C的速度?C、物块B的加速度?B； （2）两段绳中的拉力。（20分）

解，以整体为研究对象，设物块B的速度为?B，加速度为aB，如图

???a则有 ?0?BR，?0?BR，?C?CR?B2R

2112系统的动能为

T?1111222mB?B?J0?0?m1?C?Jc?c2 2222 ?3m1?4m2?8m32??

16理想约束不作力，受力的功率为

P?m3g?B 应用功率方程：

dT?P dt3m1?4m2?8m3?aB??B?m3g??B

8得 aB?进而得

8m3g

3m1?4m2?8m3aC?4m3g1 aB?23m1?4m2?8m3再以物块B为研究对象，受力如图，由质点的运动微分方程

m3g - FT1 = m3aB

得

FT1?m3g?m3aB?3m1?4m2?m3g

3m1?4m2?8m3绕最后勤部轮O为研究对象，受力如图，由刚体定轴的转动微分方程

J0??0?FT1R2?RT2R2

得

FT2?3m1m2g

3m1?4m2?8m312.图示三棱柱体ABC的质量为m1，放在光滑的水平面上，可以无摩擦的滑动。质量为m2的均质圆柱体O沿三棱柱体的斜面AB向下作纯滚动，斜面倾角为?。以x和s为广义坐标，用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，并求出三棱柱体的加速度（用其他方法做不给分）。（15分）

解：以三棱柱体ABC的水平位移和圆柱体O沿三棱柱体的斜面滑动位移S为广义坐标，以y = AC处为势能整点动能与势能为系统

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