rMm
7.半经为r的光滑半球形碗,固定在水平面上,一均质棒斜靠在碗缘,一端在碗内,一端在碗外,在碗内的长度为c,试用虚功原理证明棒的全长为:
第3.20题图4?c2?2r2? l?c
解:建坐标如图示,棒受主动力为重力,作用点在质心c上,方向竖直向下,即P??mgj 由虚功原理得
???AF???mgj????xi??yj???mg?y?0 由图可知y???c??sin?
?????l?2?4r2?c2l?4r2?c2?又由几何关系知sin?? 所以y???c??
2r22r???4r2?c2l?11??y????c??c??4r2?c22r2?2r2???对c求变分得
??1?12???2c?c????
4r2?c2??24r2?c2?c?2c?l??c4r????4r2?c2代入虚功原理得mg?24r2?c2?c?2c?l??c?0
4r????22由于?c?0 故24r?c?c?2c?l??0
??4c2?2r2整理得l?
c
8.五根长度相同的匀质杆,各重为P用铰连接,与固定边AB成正六边形,设在水平杆的中点施力F以维持平衡,用虚功原理求力F之大小?
??
解:设六边形边长为a,建坐标系如图,取角?为广义坐标
由虚功原理得:
??AF?2p?y1?2P?y2?P?y3?F?y3?0
aa3acos?,y2?acos??cos??cos?,y3?2acos? 222a3asin????,?y2??2asin???? 变分?y1??sin????,?y2??22由几何关系知 y1?代入虚功原理
?a??3a?2P??sin?????2P??sin?????P??2asin?????F??2asin???? ?2??2???6Pasin????2Fasin??????6P?2F?asin????0由于?的任意性,sin??0,???0
所以 F?3P
9.等边六角形连杆铅直放置,各杆间用光滑铰链连接,底边固定不动,C、D点用绳拉紧,连杆AB中点受力Q作用,已知平衡时∠ACD=α,试用虚功原理求平衡时Q与绳内张力T之间的关系?
解:设六边形边长为a,建坐标系如图,取角?为广义坐标
由虚功原理得:
??AF??Q?y1?T?xC?T?xD?0
aa?acos?),xD??acos? 22由几何关系知 y1?2asin?,xC??(变分?y1?2acos????,?xC?asin????,?xD??asin???? 代入虚功原理
?Q2acos?????Tasin?????Tasin?????0
(?Qcos??Tsin?)2a????0由于的?任意性,???0 所以Q?Ttan?
10.如图所示平面机构有五根长度相同的匀质杆与固定杆AB组成一正六边形,杆AF中点与杆BC中点有一刚度系数为k的水平弹簧相连,已知各杆长度用弹簧原长均为l,其重量与各铰接处摩擦均不计,若在ED中点作用一铅垂力F,则此机构平衡时角?的大小为多少。
解:以AB杆中点为原点建立坐标系,ox轴沿AB方向,oy轴竖直向上。解除弹簧约束以力T1、T2代替。由由虚功原理得:
??AF?T1?x1?T2?x2?F?YF?0
llll?cos?),x2??cos? 2222ll变分得?yF?2lcos????,x1?sin????,x2??sin????
22由几何关系知 yF?2lsin?,x1??(代入虚功原理T1?sin??????T2??又T1?T2?k?x?k?2??l?2???l?sin??????F?2lcos??????0 ?2?lcos??klcos? 2klcos??lsin?????2Flcos?????0,?klsin??2F????0
由于???0 故??arcsin??2F?? ?kl?11.图示系统,均质轮C质量为m1,半径为R1,沿水平面作纯滚动,均质轮O的质量为m2,半径为R2,绕轴O作定轴转动。物块B的质量为m3,绳AE段水平。系统初始静止。
求:(1)轮心C的速度?C、物块B的加速度?B; (2)两段绳中的拉力。(20分)
解,以整体为研究对象,设物块B的速度为?B,加速度为aB,如图
???a则有 ?0?BR,?0?BR,?C?CR?B2R
2112系统的动能为
T?1111222mB?B?J0?0?m1?C?Jc?c2 2222 ?3m1?4m2?8m32??
16理想约束不作力,受力的功率为
P?m3g?B 应用功率方程:
dT?P dt3m1?4m2?8m3?aB??B?m3g??B
8得 aB?进而得
8m3g
3m1?4m2?8m3aC?4m3g1 aB?23m1?4m2?8m3再以物块B为研究对象,受力如图,由质点的运动微分方程
m3g - FT1 = m3aB
得
FT1?m3g?m3aB?3m1?4m2?m3g
3m1?4m2?8m3绕最后勤部轮O为研究对象,受力如图,由刚体定轴的转动微分方程
J0??0?FT1R2?RT2R2
得
FT2?3m1m2g
3m1?4m2?8m312.图示三棱柱体ABC的质量为m1,放在光滑的水平面上,可以无摩擦的滑动。质量为m2的均质圆柱体O沿三棱柱体的斜面AB向下作纯滚动,斜面倾角为?。以x和s为广义坐标,用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,并求出三棱柱体的加速度(用其他方法做不给分)。(15分)
解:以三棱柱体ABC的水平位移和圆柱体O沿三棱柱体的斜面滑动位移S为广义坐标,以y = AC处为势能整点动能与势能为系统
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