高考数学140分必读之把关题圆锥曲线(6)

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???2 由AP·BP?k|PC|得

x2?y2?1?k[(x?1)2?y2] 3分

整理得(k?1)x2?2kx?(k?1)y??k?1?0（*） 4分 当k=1时，*式化为x=1表示直线 5分 当k≠1时，*式化为(x?k?1 )?y2?k?1(k?1)2 表示心(k1为半径的圆 6分 ，0)为圆，k?1|k?1| （2）当k=2时，*式化为(x?2)2?y2?1，x?[1，3]

??22 此时，|AP?BP|?2x?y?24x?3

∴其最小值为2，最大值为6 12分

??12 22. （14分）△ABC中，|AB|=|AC|=1，AB·AC?，P1为AB边上的一点，BP1≠AB，从P1向BC作垂

23线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次

得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4??

（1）令BPn为xn，寻求BPn与BPn?1（即xn与xn?1）之间的关系。 （2）点列P1，P2，P3，P4??Pn是否一定趋向于某一个定点P0？说明理由；

（3）若|AB|?1，|BP1|?1，则是否存在正整数m，使点P0与Pm之间3的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。

??1解：（1）由|AB|=|AC|=1，AB·AC?，∴∠BAC?60°

2 从而△ABC为边长为1的正三角形 2分

则BPn?xn，则BPn?1?xn?1，于是BQn?BPn·cos60°? ∴CQn?1?1xn 21xn 3分 211(1?xn) 22 同样 CRn?CQn·cos60°? ARn?1?1111(1?xn)??xn 4分 2224111 又APn?1?ARn·cos60°?(?xn)

22411131 BPn?1?1?(?xn)??xn

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即xn?1?31?xn 5分 48212??(xn?) 3832221 ∴{xn?}，当x1≠时，是以x1?为首项，公比为?的等比数列

3338221n?1 ∴xn??(x1?)(?) 7分

3382 当n???时，xn?

32 ∴点Pn趋向点P0，其中P0在AB上，且BP0? 9分

3221m?111m?1?() 11分 （3）P0Pm?|xm?|?|x1?|()338381m?11000?0.003，∴8m?1? 由|P0Pm|?0.001得() 831000m?1? 当m?4时，8

3 （2）由（1）可得：xn?1? ∴m?4，m的最小值为4 14分

2．大连二模

20．（本小题满分12分）

数列{an}，设Sn是数列的前n项和，并且满足a1?1,Sn?1?4an?2.

（Ⅰ）令bn?an?1?2an(n?1,2,3?),证明{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式； （Ⅱ）令Cn?bn1,Tn为数列{}的前n项和,求limTn.

n??3log2Cn?2?log2Cn?12解：（Ⅰ）f?(x)?3x?2(a?b)x?ab.

依题意知，s、t是二次方程f?(x)?0的两个实根.

∵f?(0)?ab?0,f?(a)?a2?ab?a(a?b)?0,f?(b)?b2?ab?b(b?a)?0,??2分 ∴f?(x)?0在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根. ∵s?t,?0?s?a?t?b. ????4分 （Ⅱ）由s、t是f?(x)?0的两个实根，知s?t?2(a?b)ab,st?. 3342(a?b)3?ab(a?b)?6分 273∴f(s)?f(t)?(s3?t3)?(a?b)(s2?t2)?ab(s?t)??∵f(s?ta?b211)?f()??(a?b)3?ab(a?b)?(f(s)?f(t)), 232732s?ts?t,f()）在曲线y=f(x)上. ??8分 故AB的中点C（22（Ⅲ）过曲线上点(x1,y1)的切线方程为y?y1?[3x1?2(a?b)x1?ab](x?x1).

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∵y1?x1(x1?a)?(x1?b)，又切线过原点.

∴?x1(x1?a)(x1?b)??x1[3x1?2(a?b)x1?ab]. 解得x1=0，或x1?2a?b. 2当x1=0时，切线的斜率为ab；当x1?a?b时，切线的斜率为?1(a?b)2?ab.??10分

42∵a?0,b?0,a?b?22, ∴两斜率之积

11[?(a?b)2?ab]?ab?(ab)2?(a?b)2?ab?(ab)2?2ab?(ab?1)2?1??1. 44故两切线不垂直. ??????12分

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x(x?a)(x?b),其中0?a?b.

（Ⅰ）设f(x)在x?s及x?t处取到极值，其中s?t,求证:0?s?a?t?b;

,(t,f(t))求证：线段, （Ⅱ）设A(s,f(s))BAB的中点C在曲线y=f(x)上；

（Ⅲ）若a?b?22，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直. 解：（Ⅰ）以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，

作CD⊥AB于D， 由题知：AB?AC?而AB?AC?|AB|?|AC|?cosA ② 由①②AC?cosA?同理，|BD|?1|AB| ① 211,即|AD|?. ??????2分 223,则|AB|?2 ∴A（－1，0）、B（1，0）??4分 2x2y21设双曲线方程2?2?1(a?0,b?0),c(?,h),E(x1,y1)

2ab2?x?,??15由3BE?2EC,得? ????6分

2?y?h.1?5??1h2?2?2?1b?4a?44h2??1 ??????8分 因为E、C两点在双曲线上，所以?2225a25b??c2?a2?b2?1??17557465.doc 第 29 页 共 42 页

?21a??x2y2?7??1 ????10分 解得?，∴双曲线方程为166?b2??777?（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2) ∵|TM|?|TN|,?y1?(x1?x0)?222y2?(x2?x0)2

22∴y1?y2?(x2?x0)2?(x1?x0)2?(x2?x12)?2x0(x1?x2) ①

2又M、N在双曲线上，满足7x1?27272222y1?1,7x2?y2?1,?y12?y2?6(x12?x2) ② 6622将②代入①，7(x1?x2)?2x0(x1?x2)

∵x1?x2,?7(x1?x2)?2x0 ??????????12分 又x1?x2?277,?x0?(x1?x2)?7, 72∴x0取值范围为（7,??） ??????14分

1．北京丰台区二模

19. （本小题满分14分）

y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2。 设双曲线2?3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；

（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0。若存在，求出直线l的

方程；若不存在，说明理由。 解：（I）?e?2，?c?4a ?c?a?3，?a?1，c?2

2222x23?1，渐近线方程为y?? ?双曲线方程为y?x 332 4分

（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Mx，y

??17557465.doc 第 30 页 共 42 页

?2|AB|?5|F1F2|55?|AB|?|F1F2|??2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10 又y1?33x1，y2??x2，2x?x1?x2，2y?y1?y2 3333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33??3(y1?y2)2?2?3???(x1?x2)??10?3?21x23y22??1 ?3(2y)?(2x)?100，即37525 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线l

设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)

103的椭圆。（9分） 3

???OP·OQ?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1??0(i)2

?y?k(x?1)?由?2x2得(3k?1)x2?6k2x?3k2?3?0?y?3?1 ?6k23k2?3则x1?x2?2，x1x2?2(ii)3k?13k?1 由（i）（ii）得k?3?0

∴k不存在，即不存在满足条件的直线l。

20. （本小题满分13分）

* 已知数列?an?的前n项和为Sn(n?N)，且Sn?(m?1)?man对任意自然数都成立，其中m为常数，且m??1。

2 14分

（I）求证数列?an?是等比数列；

（II）设数列?an?的公比q?f(m)，数列?bn?满足：b1?1a1，bn?f(bn?1) 3(n?2，n?N*)，试问当m为何值时，limbn(lgan)?lim3(b1b2?b2b3?b3b4?

n??n????bn?1bn)成立？

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