高考数学140分必读之把关题圆锥曲线(2)

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当t?6时，tan?EPF?3??EPF?30? 3212Sn22．（14分）已知数列?an?中，a1?，当n?2时，其前n项和Sn满足an?，

32Sn?1（2） 求Sn的表达式及liman的值；

n??S2n（3） 求数列?an?的通项公式； （4） 设bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求证：当n?N且n?2时，an?bn。

22Sn1122．（1）an?Sn?Sn?1??Sn?1?Sn?2SnSn?1???2(n?2)

2Sn?1SnSn?1?1?1所以??是等差数列。则Sn?。

S2n?1?n?liman22?lim???2。

n??S2n??2S?12limSn?1nnn??（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?11?2??2， 2n?12n?14n?1?1n?1????3综上，an??。

?2?n?2???1?4n2（3）令a?111,b?，当n?2时，有0?b?a? （1） 2n?12n?131?2n?11?1?2n?11。

法1：等价于求证

?2n?1?3?2n?1?3当n?2时，0?111?,令f?x??x2?x3,0?x?, 2n?1333313f??x??2x?3x2?2x(1?x)?2x(1??)?2x(1?)?0，

2223则f?x?在(0,1]递增。 3又0?111??， 2n?12n?1317557465.doc 第 7 页 共 42 页

所以g(11)?g(),即an?bn。

332n?12n?1法（2）an?bn?1111??(?)?b2?a2?(b3?a3) 2n?12n?1(2n?1)3(2n?1)3?(a?b)(a2?b2?ab?a?b) （2）

abab?a)?(b2??b)] 22ba?(a?b)[a(a??1)?b(b??1)] （3）

22?(a?b)[(a2?因b?ab3a33?1?a??1??1??1??1?0 222223ba?1)?b(b??1)?0 22所以a(a?由（1）（3）（4）知an?bn。

法3：令g?b??a?b?ab?a?b，则g??b??2b?a?1?0?b?2222所以g?b??maxg?0?,g?a??maxa?a,3a?2a

1?a 2????因0?a?1,则a2?a?a?a?1??0 32143a2?2a?3a(a?)?3a(?)?0

339所以g?b??a?b?ab?a?b?0 （5）

22由（1）（2）（5）知an?bn

例1 解关于x的不等式：log2?x?1??log4[a?x?2??1]?a?0?．

讲解：解不等式实质上就是等价变形，利用对数函数的单调性，我们不难得到：原不等式等价于

?x?1?0? ① ?a?x?2??1?0?2??x?1??a?x?2??1?x?1?1?即 ?x?2?.

a????x?a??x?2??0由于a?1，所以1?2?1，所以，上述不等式等价于 a17557465.doc 第 8 页 共 42 页

1??x?2? ② a????x?a??x?2??0解答这个含参数的不等式组，必然需要分类讨论，此时，分类的标准的确定就成了解答的关键．如

何确定这一标准？

首先，我们可以从解不等式?x?a??x?2??0入手，不难看到a?2是一个分界点，这可以看作是本题

1，aa，2这三个数之间的大小关系，这应该是本题分类讨论的第二层次．但是，在本题的条件及第一分类标准之下，这三个数的大小关系已经确定，所以，我们只需考虑以a?2为分界点．

分类讨论的第一层次；其次，要解上述不等式组，从两个不等式取交集的角度，必然需要考虑到2?1?x?2??（1）当1?a?2时，不等式组②等价于? a??x?2或x?a211???a?1??此时，由于?2???a??0，所以 2??a．

aa?a?从而 2?1?x?a或x?2． a3??x?（2）当a?2时，不等式组②等价于?2

??x?23所以 x?，且x?2．

21??x?2?（3）当a?2时，不等式组②等价于? a??x?2或x?a此时，由于2?11?2，所以，2??x?2或x?a． aa??1综上可知：当1?a?2时，原不等式的解集为?x2??x?a或x?2?；当a?2时，原不等式的解集

a??????31为?xx?，且x?2?；当a?2时，原不等式的解集为?x2??x?2或x?a?．

2a????如果将本题中的条件a?1去掉，则在将原不等式等价转化为不等式组①后，就应该开始确定分类标准．从解不等式a?x?2??1?0和?x?a??x?2??0入手，可知a?0，a?2是两个分界点，另外，从解不等式组的角度，即不等式取交集的角度，可以看出需要比较2?了找到分界点，可以令2?1，a，1，2这四个数的大小关系，为a1＝a，解得：a?1，于是，我们得到了此题分类讨论的3个界点：0，1，2．从a不重不漏的原则出发，我们可以画出如下数轴，并标出0，1，2三个点，以此把数轴分成???,0?，?0,1?，

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?1,2?，?2,???四个区间及a?0,1,2三个点．

下面只需在各区间及各界点展开讨论即可．结论如下：

?1?当a?0时，原不等式的解集为?x2?x?2??；

a??当0?a?1时，原不等式的解集为?xx?2?；

??1当1?a?2时，原不等式的解集为?x2??x?a或x?2?；

a????3当a?2时，原不等式的解集为?xx?，且x?2?；

2????1当a?2时，原不等式的解集为?x2??x?2或x?a?．

a??

点评：解含参数的不等式时，关键在于分类标准的确定．函数单调性的变化常常作为确定分类标准的依据．分类需要不重不漏，尤其注意不要忽略参数a在分界点的取值．

例2 设函数f?x??ax?x2?1， （1）当a?2时，解不等式f(x)?f?1?；

（2）求a的取值范围，使得函数f?x?在?1,???上为单调函数． 讲解：（1）a?2时，f(x)?f?1?可化为：2?x?1??x2?1，等价于：

?x?1?0?x?1?0 ① 或 ?2 ② ?22?x?1?0?4?x?1??x?1解①得 1?x?5，解②得 x??1． 3??5所以，原不等式的解集为 ?x1?x?或x??1?．

3??（2）任取x1,x2??1,???，且x1?x2，则

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22f?x1??f?x2????ax1?x1?1?????ax2?x2?1??????22?a?x1?x2????x1?1?x2?1?????a?x1?x2?????x1?x2??a???x1?x22222

????1?x1?1?x2?1x1?x2x1?1?x222要使函数f?x?在?1,???上为单调函数，需且只需：

a?x1?x2x1?1?x2?122恒成立，（或a?x1?x2x1?x2x1?1?x2?122恒成立）．

因此，只要求出

x1?1?x2?122在条件“x1,x2??1,???，且x1?x2”之下的最大、最小值即可．为

了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：x1?1,x2?1，容易知道，此时

x1?x2x1?1?x2?122???；若考虑x1?x2???，则不难看出，此时

x1?x2x1?1?x2?122?1，至此我们

可以看出：要使得函数f?x?为单调函数，只需a?1．

事实上，当a?1时，由于x1?x2?x1?1?x2?1?0恒成立，所以，

22x1?x2x1?1?x2?122?1．所

以，在条件“x1,x2??1,???，且x1?x2”之下，必有：f?x1??f?x2??0．

所以，f?x?在区间?1,???上单调递减．

?5?当a?1时，由（1）可以看出：特例a?2的情况下，存在f?1??f??．由此可以猜想：函数f?x?在

?3?区间?1,???上不是单调函数．为了说明这一点，只需找到x1,x2??1,???，使得f?x1??f?x2?即可．简便

a2?1?1，也即：f?1??起见，不妨取x1?1，此时，可求得x2?2a?1?a2?1?f??a2?1???a，所以，f?x?在区间?1,?????上不是单调函数．

点评：本题是函数、不等式型综合问题，注意：不等式解区间的端点往往与方程的解相关（如（1）

?5?中f?1??f??.

?3?

高考真题

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