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1．重庆一模
21．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。 （Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由。
21．（12分）
解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2
? 抛物线方程为: y2?4x??????????????????（1分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1???????（2分） 对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22 ? a?1?2? a2?1?2??2?3?22????????????（4分）
? b2?a2?c2?2?22? 椭圆方程为： x23?22?y22?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2
? a??2?1? a?2?3?22? b?2?c?2?a?2?22?2? 双曲线方程为： x23?22?y222?2?1????????????（6分）
（Ⅱ）设AP的中点为C，l?的方程为：x?a，以AP为直径的圆交l?于D,E两点，DE中点为H
?x?3y1?,???????????????????（7分） 令A?x1,y1?, ? C?122??? DC?112AP??x1?3??y1222
x1?31 CH??a??x1?2a??32221?12?x1?3??y12???x?2a?3?????4?14? ??a-2?x1?a2?3a2222? DH?DC?CH?当a?2时,DH??4?6?2为定值;? DE?2DH?22为定值此时l?的方程为： x?2????（12分）
22．（14分）已知正项数列?an?中，a1?6，点Anan,an?1在抛物线y2?x?1上；数列?bn?中，点Bn?n,bn?在过
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点?0,1?，以方向向量为?1,2?的直线上。
（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式；
??an, ?n为奇数?（Ⅱ）若f?n???，问是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，若存在，求出k值；若不存??bn, ?n为偶数?在，说明理由；
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式
an?1?1??1??1?1?1??1????????b1??b2??bn??ann?2?an?0成立，求正数a的取值范围。
22．（14分）
解：（Ⅰ）将点Anan,an?1代入y2?x?1中得
??an?1?an?1 ? an?1?an?d?1? an?a1??n?1??1?n?5直线l:y?2x?1, ? bn?2n?1??n?5, ?n为奇数?（Ⅱ）f?n???????????????（5分）
??2n?1, ?n为偶数?????????????????（4分）
当k为偶数时，k?27为奇数， ? f?k?27??4f?k?? k?27?5?4?2k?1?, ? k?4当k为奇数时，k?27为偶数，? 2?k?27??1?4?k?5?, ? k?综上，存在唯一的k?4符合条件。（Ⅲ）由
????????（8分）
35?舍去?2an?1?1??1??1?1?1??1????????b1??b2??bn??ann?2?an?0
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即a??1??1??1?1?1??1???????2n?3?b1??b2??bn?1?1??1??1?1?1??1???????2n?3?b1??b2??bn?1?1??1??1??1?1?1??1?1?????????2n?5?b1??b2??bn??bn?1?12n?3?1?2n?32n?42n?4??1?????2n?5?bn?1?2n?52n?32n?5?2n?3 ?1记f?n??? f?n?1??? ?f?n?1?f?n?2?4n2?16n?164n?16n?15? f?n?1??f?n?, 即f?n?递增，? f?n?min?f?1??? 0?a?45151445?,5315?2．南京三模
21.（本小题满分12分）将圆O: x2?y2?4上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C. (1) 求C的方程;
(2) 设O为坐标原点, 过点F(3, 0)的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点, 延长线段ON交C于点E.
求证: OE?2ON的充要条件是|AB| ?3. 21．（本小题满分12分）
?x??x,解: (1)设点P(x?, y?), 点M的坐标为(x, y),由题意可知???????(2分)
?y?2y,?x22222?y2?1. 又x??y??4,∴x?4y?4?4x2?y2?1.??????(4分) 所以, 点M的轨迹C的方程为4(2)设点A(x1, y1), B(x2, y2), 点N的坐标为(x0, y0),
㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ??????(5分) ㈡设直线l: x?my?3,
??x?my?3由?消去x,
22??x?4y?4得(m2?4)y2?23my?1?0??????①
3m,??????(6分) 2m?43m23m2?4343??∴x0?my0?3??2, 22m?4m?4m?4433m, ?2).??????(8分) ∴点N的坐标为(2m?4m?4∴y0??17557465.doc 第 4 页 共 42 页
①若OE?2ON, 坐标为, 则点E的为(8323m, ?), 由点E在曲线C上, 22m?4m?44812m2得?2?1, 即m4?4m2?32?0, ∴m2?8 (m2??4舍去). 222(m?4)(m?4)12m2?4m2?164m2?1由方程①得|y1?y2|???1, 22m?4m?4又|x1?x2| ? |my1?my2| ? |m(y1?y2)|,
∴|AB| ? m2?1|y1?y2| ?3.??????(10分)
4(m2?1)?3,∴m2?8. ②若|AB| ?3, 由①得2m?4362∴点N的坐标为(, ?), 射线ON方程为: y??x (x?0),
362?23?2x??x (x?0)6?y???3 ∴点E的坐标为23由? 解得(, ?), 2?33?x2?4y2?4?y??6??3?∴OE?2ON.
综上, OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.??????(12分)
22.（本小题满分14分）已知函数f(x)?1(x?R). x4?211(1) 试证函数f(x)的图象关于点(, )对称;
24n(2) 若数列{an}的通项公式为an?f() (m?N?, n?1, 2, ?,m), 求数列{an}的前m项和Sm;
m1111(3) 设数列{bn}满足: b1?, bn?1?b2. 设. T??????bnnn3b1?1b2?1bn?1若(2)中的Sn满足对任意不小于2的正整数n, Sn?Tn恒成立, 试求m的最大值.
121422．（本小题满分14分）
解: (1)设点P0(x0, y0)是函数f(x)的图象上任意一点, 其关于点(, )的对称点为P(x, y).
?x?x01??x?1?x0,??2?2由? 得? 1y??y0.?y?y0?1?2??4?21所以, 点P的坐标为P(1?x0, ?y0).??????(2分)
21由点P0(x0, y0)在函数f(x)的图象上, 得y0?x.
04?2
∵f(1?x0)?141?x04x04x0??, x0x0?24?2?42(4?2)11114x0?y0??x0?(1?x, ?y0)在函数f(x)的图象上. ∴点P,0224?22(4x0?2)211∴函数f(x)的图象关于点(, )对称. ??????(4分)
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1kk1, 所以f()?f(1?)? (1?k?m?1), 2mm2km?k11)? , ?ak?am?k?,??????(6分) 即f()?f(mm22由Sm?a1?a2?a3???am?1?am, ?????? ①
(2)由(1)可知, f(x)?f(1?x)?得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am, ??????② 由①＋②, 得2Sm?(m?1)?∴Sm?1m?11m1?2am??2???, 226261(3m?1).??????(8分) 121(3) ∵b1?,bn?1?b2n?bn?bn(bn?1), ??????③
3∴对任意的n?N?, bn?0. ??????④
1111111由③、④, 得. ???,即??bn?1bn(bn?1)bnbn?1bn?1bnbn?1111111111∴Tn?(?.?????(10分) )?(?)???(?)???3?b1b2b2b3bnbn?1b1bn?1bn?1∵bn?1?bn?b2?bn?1?bn,∴数列{bn}是单调递增数列. n?0, ∴Tn关于n递增. 当n?2, 且n?N?时, Tn?T2.
11144452,b2?(?1)?, b3?(?1)?, 33399981175∴Tn?T2?3??.??????(12分)
b152751752384,即(3m?1)?,∴m??6, ∴m的最大值为6. ?????(14分) ∴Sm?5212523939∵b1?3．重庆预测
21．（12分）E、F是椭圆x?2y?4的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点P?l，过点E的直线交椭圆于A、B两点。
（1） 当AE?AF时，求?AEF的面积； （2） 当AB?3时，求AF?BF的大小； （3） 求?EPF的最大值。 21．（1）?y22APM?m?n?41?S?mn?2 ?AEF222?m?n?8BEOFx??AE?AF?4?AB?AF?BF?8， （2）因?BE?BF?4??则AF?BF?5.
（1） 设P(22,t)(t?0) tan?EPF?tan(?EPM??FPM)
?(32232?222t223?)?(1?)???， ttt2t2?6t?6t?13
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