矩阵的基本运算(3)

§3.7.3奇异值分解

在Matlab中三重赋值语句

[U,S,V]=svd(A)

在奇异值分解中产生三个因数：

A=U*S*V '

U矩阵和V矩阵是正交矩阵，S矩阵是对角矩阵，svd(A)函数恰好返回S的对角元素，而且就是A的奇异值（其定义为：矩阵A'*A的特征值的算术平方根）．注意到A矩阵可以不是方的矩阵．

奇异值分解可被其它几种函数使用，包括广义逆矩阵pinv(A)、秩rank(A)、欧几里德矩阵范数norm(A,2)和条件数cond(A)． §3.7.4 特征值分解

如果A是n×n矩阵，若?满足Ax=?x，则称?为A的特征值，x为相应的特征向量．

函数eig(A)返回特征值列向量，如果A是实对称的，特征值为实数．特征值也可能为复数，例如： A=[ 0 1

-1 0] eig(A) 产生结果 ans =

0 + 1.0000i 0 - 1.0000i

如果还要求求出特征向量，则可以用eig(A)函数的第二个返回值得到：

[x,D]=eig(A)

D的对角元素是特征值．x的列是相应的特征向量，以使A*x=x*D． 计算特征值的中间结果有两种形式：

Hessenberg形式为hess(A)，Schur形式为schur(A)．

schur形式用来计算矩阵的超越函数，诸如sqrtm(A)和logm(A)．

如果A和B是方阵，函数eig(A,B)返回一个包含一般特征值的向量来解方程

Ax=?Bx

双赋值获得特征向量

[X,D]=eig(A,B)

产生特征值为对角矩阵D．满秩矩阵X的列相应于特征向量，使A*X=B*X*D，中间结果由qz(A,B)提供． §3.7.5秩

Matlab计算矩阵A的秩的函数为rank(A)，与秩的计算相关的函数还有：rref(A)、orth(A)、null(A)和广义逆矩阵pinv(A)等．

利用rref(A)，A的秩为非0行的个数．rref方法是几个定秩算法中最快的一个，但结果上并不可靠和完善．pinv(A)是基于奇异值的算法．该算法消耗时间多，但比较可靠．其它函数的详细用法可利用Help求助．

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