矩阵的基本运算(2)

§3.6.3 数组乘方

数组乘方用符号.^表示． 例如：键入：

x=[ 1 2 3] y=[ 4 5 6]

则z=x.^y=[1^4 2^5 3^6]=[1 32 729] (1) 如指数是个标量，例如x.^2，x同上，则：

z=x.^2=[1^2 2^2 3^2]=[ 1 4 9]

(2) 如底是标量，例如2 .^[x y] ，x、y同上，则：

z=2 .^[x

y]=[2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6]=[2 4 8 16 32 64]

从此例可以看出Matlab算法的微妙特性，虽然看上去与其它乘方没什么不同，但在2和“．”之间的空格很重要，如果不这样做，解释程序会把“．”看成是2的小数点． Matlab看到符号“^”时，就会当做矩阵的幂来运算，这种情况就会出错，因为指数矩阵不是方阵． §3.7 矩阵函数

Matlab的数学能力大部分是从它的矩阵函数派生出来的，其中一部分装入Matlab本身处理中，它从外部的Matlab建立的M文件库中得到，还有一些由个别的用户为其自己的特殊的用途加进去的．其它功能函数在求助程序或命令手册中都可找到．手册中备有为Matlab提供数学基础的LINPACK和EISPACK软件包，提供了下面四种情况的分解函数或变换函数：

(1)三角分解；(2)正交变换；(3) 特征值变换；(4)奇异值分解． §3.7.1三角分解

最基本的分解为“LU”分解，矩阵分解为两个基本三角矩阵形成的方阵，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵．计算算法用高斯变量消去法．

从lu函数中可以得到分解出的上三角与下三角矩阵，函数inv得到矩阵的逆矩阵，det得到矩阵的行列式．解线性方程组的结果由方阵的“\\”和“/”矩阵除法来得到．

例如：

A=[ 1 2 3

4 5 6 7 8 0]

LU分解，用Matlab的多重赋值语句

[L,U]=lu(A) 得出

L =

0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0000 0 0 U =

7.0000 8.0000 0 0 0.8571 3.0000 0 0 4.5000 注：L是下三角矩阵的置换，U是上三角矩阵的正交变换，分解作如下运算，

检测计算结果只需计算L*U即可． 求逆由下式给出： x=inv(A)

x =

-1.7778 0.8889 -0.1111 1.5556 -0.7778 0.2222 -0.1111 0.2222 -0.1111 从LU分解得到的行列式的值是精确的，d=det(U)*det(L)的值可由下式给出：

d=det(A) d =

27

直接由三角分解计算行列式：d=det(L)*det(U)

d =

27.0000

为什么两种d的显示格式不一样呢? 当Matlab做det(A)运算时，所有A的元素都是整数，所以结果为整数．但是用LU分解计算d时，L、U的元素是实数，所以Matlab产生的d也是实数． 例如：线性联立方程取 b=[ 1

3 5] 解Ax=b方程，用Matlab矩阵除得到

x=A\\b 结果x=

0.3333 0.3333 0.0000

由于A=L*U，所以x也可以有以下两个式子计算：y=L\\b，x=U\\y．得到相同的x值，中间值y为：

y =

5.0000 0.2857 0.0000

Matlab中与此相关的函数还有rcond、chol和rref．其基本算法与LU分解密切相关．chol函数对正定矩阵进行Cholesky分解，产生一个上三角矩阵，以使R'*R=X．rref用具有部分主元的高斯－约当消去法产生矩阵A的化简梯形形式．虽然计算量很少，但它是很有趣的理论线性代数．为了教学的要求，也包括在Matlab中．

§3.7.2正交变换

“QR”分解用于矩阵的正交－三角分解．它将矩阵分解为实正交矩阵或复酉矩阵与上三角矩阵的积，对方阵和长方阵都很有用． 例如A=[ 1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 11 12]

是一个降秩矩阵，中间列是其它二列的平均，我们对它进行QR分解：

[Q,R]=qr(A) Q = -0.0776 -0.3105 -0.5433 -0.7762 R =

-12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.0826 0 0 0.0000 0 0 0 可以验证Q*R就是原来的A矩阵．由R的下三角都给出0，并且R(3,3)=0.0000，

说明矩阵R与原来矩阵A都不是满秩的．

下面尝试利用QR分解来求超定和降秩的线性方程组的解． 例如：

b=[ 1

3 5 7]

-0.8331 -0.4512 -0.0694 0.3124 0.5444 -0.7709 -0.0913 0.3178 0.0605 0.3251 -0.8317 0.4461 讨论线性方程组Ax=b，我们可以知道方程组是超定的，采用最小二乘法的最好结果是计算x=A\\b． 结果为：

Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014 x = 0.5000 0 0.1667

我们得到了缺秩的警告．用QR分解法计算此方程组分二个步骤：

y=Q'*b x=R\\y 求出的y值为

y =

-9.1586 -0.3471 0.0000 0.0000 x的结果为

Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014 x = 0.5000 0 0.1667

用A*x来验证计算结果，我们会发现在允许的误差范围内结果等于b．这告诉我们虽然联立方程Ax=b是超定和降秩的，但两种求解方法的结果是一致的．显然x向量的解有无穷多个，而“QR”分解仅仅找出了其中之一．

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