矩阵的基本运算

矩阵的基本运算

（摘自：华东师范大学数学系；http://math.ecnu.edu.cn/）

§3.1 加和减 §3.2矩阵乘法

§3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算

§3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩

§3.1 加和减

如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B=

1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回：

C =

2 6 10 6 10 14 10 14 0

如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -2

0 -1

2 1

§3.2矩阵乘法

Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍．

§3.2.1 矩阵的普通乘法

矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同． 如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B， 结果为

C=×==

即Matlab返回： C =

19 22 43 50

如果A或B是标量，则A*B返回标量A（或B）乘上矩阵B（或A）的每一个元素所得的矩阵．

§3.2.2 矩阵的Kronecker乘法

对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为：

由上面的式子可以看出，Kronecker乘积AB之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B×mq矩阵，但一般情况下A

BB

B表示矩阵A的所有元素与

B和B

A均为np

A则完全类似．A

A．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker乘

法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A和B：

A= B=

则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C：

A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C =

1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8

6 12 18 8 16 24

作为比较，可以计算B和A的Kronecker乘积D，可以看出C、D是不同的： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A) D =

1 2 3 6 2 4 3 4 9 12 6 8 2 4 4 8 6 12

6 8 12 16 18 24 §3.3 矩阵除法

在Matlab中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A矩阵是非奇异方阵，则A\\B是A的逆矩阵乘B，即inv(A)*B；而B/A是B乘A的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算． 通常：

x=A\\B就是A*x=B的解； x=B/A就是x*A=B的解.

当B与A矩阵行数相等可进行左除．如果A是方阵，用高斯消元法分解因数．解方程：A*x(:, j)=B(:, j)，式中的(:, j)表示B矩阵的第j列，返回的结果x具有与B矩阵相同的阶数，如果A是奇异矩阵将给出警告信息．

如果A矩阵不是方阵，可由以列为基准的Householder正交分解法分解，这种分解法可以解决在最小二乘法中的欠定方程或超定方程，结果是m×n的x矩阵．m是A矩阵的列数，n是B矩阵的列数．每个矩阵的列向量最多有k个非零元素，k 是A的有效秩．

右除B/A可由B/A=(A'\\B')'左除来实现． §3.4矩阵乘方

A^P意思是A的P次方．如果A是一个方阵，P是一个大于1的整数，则A^P表示A的P次幂，即A自乘P次．如果P不是整数，计算涉及到特征值和特征向量的问题，如已经求得：[V,D]=eig(A)，则：

A^P=V*D.^P/V（注：这里的.^表示数组乘方，或点乘方，参见后面的有关介绍）

如果B是方阵， a是标量，a^B就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的B次方程阵． 如果a和B都是矩阵，则a^B是错误的． §3.5 矩阵的超越函数

在Matlab中解释exp(A)和sqrt(A)时曾涉及到级数运算，此运算定义在A的单个元素上． Matlab可以计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等． 一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m”加在函数名的后边而成expm(A)和sqrtm(A)，当Matlab运行时，有下列三种函数定义：

expm 矩阵指数 logm 矩阵对数 sqrtm 矩阵开方

所列各项可以加在多种m文件中或使用funm．请见应用库中sqrtm.m，1ogm.m，funm.m文件和命令手册． §3.6数组运算

数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“\\”、“^”前加一点来表示，即为“.*”、“./”、“.\\”、“.^”．注意没有“.+”、“.-”运算． §3.6.1数组的加和减

对于数组的加和减运算与矩阵运算相同，所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受． §3.6.2数组的乘和除

数组的乘用符号.*表示，如果A与B矩阵具有相同阶数，则A.*B表示A和B单个元素之间的对应相乘．例如 x=[1 2 3]; y=[ 4 5 6]; 计算z=x.*y 结果z=4 10 18

数组的左除（.\\）与数组的右除（./），由读者自行举例加以体会．

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