10.4教案(四个课时)(3)

n?12n?2n?22n?1n=26n?C1-26n-1 ?????26?26C26C26CCnnnnn=26(26=676(26而(262n?2?Cn26???Cn)

1n?3n?21n?3n?2n?2?Cn26???Cn)

1n?3n?2n?2?Cn26???Cn)为整数

故33 n-26n-1能被676整除. 4. 求有理项或求最大项系数；

例1.求?1?展开式中项系数最大的项及展开式中的有理项.

?x?3x?2??1010

解：Tr?1?Cr?x??(r?1)?(r?1)10?r?13??1?x?Cxx2?2?r10r10?r2rr3 =

C2x10r?r30?r6

（1）设第r+1项系数最大，则

C210rr?r≥C10≥C10r?122

C210?rr?1811解第一个不等式得r≥解第二个不等式得r≤，因为r为正整数，故r=3.

33∴项系数最大的项是第4项，这一项为：T4?15x4x. （2）要使展开式为有理项，须∵0≤r≤10 故r=0或r=6

即第一项和第七项为有理项，它们分别是：T1=x5, T7=

30?r为整数 61054

x. 32例2.当（1+x+Px2)4的展开式中x4的系数取到最小值时，求P的值. 解：（1+x+Px2）4=[1+(x+Px2)4

Tr?1?C4r?x?Px?2r?CCx?Pxrkrr?k40312k??CCPx4r2rkkr?k

令r+k=4 ∵0≤r≤4, 0≤k≤r

则r, k的值可能是(4,0), (3,1), (2,2)

故展开式中的系数为C4C4?C4C3P?C4C2P=1+12P+6P2

422 当x4的系数取到最小值时P= -1（此时最小值是-5） 5. 证明有关组合数的等式：

例1.求证：Cn?2Cn?3Cn????nCn?n?2证明：（方法一） ∵kCn?kk123nn?1

n!n! ?k!(n?k)!(k?1)!(n?k)!

=

n(n?1)!k?1?nCn?1 (k=1, 2??,n)

(k?1)![(n?1)?(k?1)]!012n?1故：左边=nCn?1?nCn?1?nCn?1???nCn?1=n?右边=n

2n?1=右边

（方法二）

?C?C???C?=nC01n?1n?1nn0?nCn?1???nCn?1 n?1(n?1)(n?2)?3?2?11n?1=n?1+n? (n-1)+n?(n?1)(n?2)???n?(n?1)(n?2)?3?2?1

1?2=Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn?nCn=左边 （方法三） 令

123n?1nsn?Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn?nCn ①

n?1n?2n?31n123n?1n则sn?Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn?nCn ② 两式相加①+②得

2n?nCn?[1?(n?1)]Cn?[2?(n?2)]Cn???[(n?1)?1]Cn+nCn

n12n?1sn=nCn?nCn?nCn???nCn?nCn?n?2 故

012n?1nnsn?n?2

1?<3 n∈N, n≥2

?1???n?nnn?1例2.求证2

证明：?1?1???n??=1+1+

121n1????=1+CnCnn nCnn2n1n

C?2n1n2???Cn1nn＞2.

C＜

in1nin!n(n?1)(n?2)?(n?i?1) ?i1?2?3??i?n?n?ni!(n?i)!n

111＜ =i?1 (i=2??n)

1?2?3?i1?2?2?22n

?1?1?=1+C11?C21???Cn1＜1+1+1?1???1

nn2nn2n?1??n2nnn22??=2+1-

12n ＜3.

∴2

n???n?

例3.求证：Cn?011121n1n?1=?????1.

2Cn3Cnn?1Cnn?12??证明:

1101n?112n?1右边=(Cn?1?Cn?1???Cn?1?1)=(Cn?1?Cn?1???Cn?1)

n?1n?1

n11(n?1)!i?1?=? Cn?1?i?0n?1i?0n?1(i?1)!(n?1?i?1)!nn1n!1i?=??Cn i?1i!(n?i)!i?1i?0i?0n

=

C0n?11121n????=左边 2Cn3Cnn?1Cn6. 有关数列的计算；

例1.已知（2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, 求(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值. 解：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4 令x= -1得a0-a1+a2-a3+a4=(2-3)4

∴(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2= (a0+a1+a2+a3+a4) (a0-a1+a2-a3+a4) = (2+3)4(2-3)4=1

例2.若(1-3x)8= a0+a1x????a8x8 , 求|a0|+|a1|+|a2|????|a8|的值

解：由已知a1,a3,a5,a7得均小于0而a0,a2,a4,a6,a8均大于0 ∴|a0|+|a1|+|a2|????|a8|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8 故可令x=-1即得 |a0|+|a1|+|a2|????|a8|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8=48

例3.求1?2Cn?4Cn?8Cn???解:倒用二项式定理可得:

231-2C1?4?8???CCnnn12=C0?(?2)?CnnCn123??2?C的值

nnn??2?C

nnnn??2?2n???Cn(?2)

=(1-2)n=(-1)n

例4.已知（2x2+4x+3)6= a0+ a1(x+1)2+ a2 (x+1)4???? a6 (x+1)12 求:a0 +a2 +a4 +a6的值. 解：由已知得

（2x2+4x+3)6= [1+2(x+1)2]6=a0+ a1(x+1)2+ a2 (x+1)4????a6 (x+1)12 令x=0得a0+ a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6 = 36= 729 令(x+1)2= -1（事实上是令x = i-1） 则得a0- a1+ a2- a3+ a4- a5 + a6 =(-1)6=1 两式相加得2(a0 +a2 +a4 +a6)=730 故a0 +a2 +a4 +a6=365

7.有关“杨辉三角”的研究：

例1.有一个数列：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，2，3，4，5，?? 求第100项的值.

解： 设以每个1开头的一段数的个数排成的数列为

?a?，即a=1a=2a=3a=4， 则

n1

2

3

4

sn?1?n1?nn，令sn?n?100，即得n2+n-200=0 22∴数列1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，2，3，4，5，??的第100项为?an?中

∵n=13时，有n2+n-200=-18<0，当n=14时，有n2+n-200=10>0 故S13<0，而S14>0

a14的第9项，所以第100项为9

例2.如图，它满足：(1)第n行的首尾两数均为n ； 1 (2)表中的递推关系类似杨辉三角. 2 2 则第n 行的第2个数是多少？ 3 4 3 解：设第n 行的第2个数是an，则 4 7 7 4 an=(n-1)+an-1 于是 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 可求得an?n

2?n?2 2…………… 例3.数列：1，2，4，3，9，27，81，4，16，64，256，1024，4096，16374，65496，???。

1.若ak?510，则k的最小值是多少？ 求：○ 则

2.求第1000项的值. ○

解：设分别以自然数1、2、3、???开头的一段等比数列的项数为数排成的数列为

n?b?，

n?b?是以1 为首项，以2为公比的等比数列。而第n段又由以相应自然数n为首项，以这

个自然数n为公比的等比数列

?n? (n=1、2、3、???)。

r1.∵ak?510，故数列中第一个ak位于以5 为首项，以5为公比的等比数列○

10项，又b1+b2+b3+b4=15， 所以ak?510为原数列中的第25项，kmin=25 2.bn?2 则sn?2?1令sn?2?1=1000 ○

∵29=512 ∴ 2 9-1=511<1000, 又210-1=1023>1000

n?1nn?5?的第

r所以取故原数列的第1000项是以自然数10为首项，以10为公比的等比数列10中的第489项，故原数列的第1000项为10489

例4.设数列 {an}是集合

??r?2?2|0?s?t, 且s、t?Z?中的数从小到大排列而成，即：

ts a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，?。

3 现将各数按照上小下大、左小右大的原则排成如下三角形表： 5 6 1.写出这个三角形的第四行和第五行的数； ○

9 10 12 …………………… 2.求a100; ○

3.设{bn}是集合 ○

?2?2?2|0?s?t?r, 且s、t、r?Z?中的数从小到大排列而成，已知

tsrbk=1160，求k的值.

解：○

1.显然第i行为t=i ( i =1,2,3,?)时，故 第四行为：17，18，20，24；

第五行为：33，34，36，40，48。

○2.以三角形数表中，每行的数字个数为数列各项建立等差数列?Cn?，

则C1=1，C2=2，C3=3，

则有s1?n1?nn?2n， 令sn?2n?100，

显然有S13=91<100，S14=105>100 故在第14行倒数第6位。

T=14, s=8 ∴a814100 =2?2=16640 ○

3.显然，当r取2时，可得一个数，即c21=2+21+20=7； 当r取3时，可得三个数，即c2=23+21+20=11,c33=2+22+20=13,c14=23+22+2=14；

当r取n+1时，可得个111n(n2CC?1)nn?1?2数.

以r取n+1时所得数的个数为各项建立数列

?cn?，

3故有s?3n?nn2?2n ， 而ak?1160?210?27?236

32 因为当取2、3、4、?、9时，共有s?3?8?88?2?86?120个，

又r取10时比t=7,s=3时小的数共有C1111117?C6?C5?C4?C2?C1?25个， 故

ak?1160时，k=145

教学反思：

当

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