10.4教案(四个课时)(2)

1rrx???Cnx???xn. （2）(1?x)n?1?Cnrn?rrab 。 2． 二项展开式的通项公式：Tr?1?Cn3． 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注

意到指数及项数的整数性。 4． 二项式系数表（杨辉三角）

当n依次取1,2,3?时，(a?b)n展开式的二项式系数，

表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩

5． 二项式系数的性质：

012，Cn，Cn，?，(a?b)n展开式的二项式系数是Cn二项式系数表，上两个数的和。

nrCn．Cn可以看

成以r为自变量的函数f(r)

定义域是{0,1,2,?,n}，例当n?6时，其图象是7个孤立的（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相

mn?m?Cn（∵Cn）．

点（如图）

等

直线r?n是图象的对称轴． 2n(n?1)(n?2)?(n?k?1)k?1n?k?1?Cn?，

k!kn?k?1n?k?1n?1kk?1?1?k?∴Cn相对于Cn的增减情况由决定，，

kk2n?1当k?时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得

2k?（2）增减性与最大值．∵Cn最大值；

当n是偶数时，中间一项C（3）各二项式系数和：

1rr∵(1?x)n?1?Cnx???Cnx???xn，

n2n取得最大值；当

n是奇数时，中间两项Cn?12n，

Cn?12n取得最大值．

012rn?Cn?Cn???Cn???Cn令x?1，则2n?Cn 二、知识运用 【例1】

在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

0n1nrn?rrnna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)中，令a?1,b??1，证明：在展开式(a?b)n?Cn0123n?Cn?Cn?Cn???(?1)nCn则(1?1)n?Cn，

02130213?Cn??)?(Cn?Cn??)，∴Cn?Cn???Cn?Cn??， 即0?(Cn即在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

0213?Cn???Cn?Cn???2n?1. 说明：由性质（3）及例1知Cn【例2】

已知(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，求：

（1）a1?a2???a7；（2）a1?a3?a5?a7；（3）|a0|?|a1|???|a7|. 解：（1）当x?1时，(1?2x)7?(1?2)7??1，展开式右边为

a0?a1?a2???a7

∴a0?a1?a2???a7??1，

当x?0时，a0?1，∴a1?a2???a7??1?1??2，

（2）令x?1， a0?a1?a2???a7??1 ① 令x??1，a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?37 ②

1?37①?② 得：2(a1?a3?a5?a7)??1?3，∴ a1?a3?a5?a7??.

27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a0?a2?a4?a6)??1?37，

?1?37∴ a0?a2?a4?a6?，

2∴|a0|?|a1|???|a7|?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7

?(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?37 【例3】 求(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)10展开式中x3的系数 (1?x)[1?(1?x)10]（1?x）?解：(1?x)?(1?x)??

1?(1?x)210(x?1)11?(x?1)=，

x7∴原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为C11 【例4】 在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数 解：∵(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5

∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为C15?5x，

4在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为C152x?80x

∴展开式中含x的项为 1?(80x)?5x(32)?240x， ∴此展开式中x的系数为240 【例5】

已知(x?2n)的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展2x开式的常数项。

24解：依题意C4C2n:Cn?14:3?3Cn?14n

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!?n=10。 设第r+1项为常数项，又 Tr?1?C(x)令

r1010?r10?5r2rrr(?2)?(?2)C10x2 x10?5r?0?r?2， 22?T2?1?C10(?2)2?180.此所求常数项为180。

三、课堂练习

（1）?2x?5y?的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式

20系数最大的项为第 项；

（2）(x?)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．

012n123n?729，则Cn（3）Cn+2Cn+4Cn+??2nCn?Cn?Cn???Cn?（ ）

1xA．63 B.64

C.31 D.32

（4）已知：(2?3x)50?a0?a1x?a2x2???a50x50，

求：(a0?a2???a50)2?(a1?a3???a49)2的值。 答案：（1）220，320，11；

（2）?展开式中只有第六项的二项式系数最大，

3(x)7()3?120x； ∴ n?10， T4?C101x（3）A． 四、课堂小结

rn?r?Cn1．性质1是组合数公式Cn的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，

性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；

2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法。

二项式定理（四）

1. 二项式定理的几种形式

?a?b??Ca?Can0nn1nn?1b?Cnan?12n?2b???Cnb22nn?222nn?a?b??Ca?(?1)Cab???1?Cab?????1?Cb?1?x??1?Cx?Cx????Cx

n0nn1nnnnn1n2n2nnnnn?rr通项：二项式展开式中第r+1项为: Tr?1?Crab（r=0,1, 2??,n) n2. 两个特别容易混淆的概念：

（1）二项式系数：Cin ( i=0,1, 2??,n)叫做二项式系数.

（2）展开式中项的系数：展开式中某一项的系数。

3. 递推二项式定理的过程，即某一项的形成过程.

例如：Crnan?rbr的形成过程：从n个括号中取r个括号中的b，另外n-r个括号中取a，

rrn?rn?r故得. CnbCn?ra?Cnarn?rb

r二、知识运用（除常规的展开外） 1. 递推过程的应用：

例1.在(x+y+z)9中，求展开式中x4y3z2的系数.

解：由x4y3z2的形成过程可知，在9个括号中取4个括号中的x，剩下5个括号中取3个括号取y，再剩下的两个括号中取z，故得x4y3z2系数为 C9C5C2=1260.

例2.在(1+x)(2+x)(3+x)????(19+x)(20+x)的展开式中,求x18的系数. 解：在20个括号中取出18个括号取x，另外剩下两个括号取常数，由于各个常数不相等，故不能简单地用“组合数”计算，而应按实际数值计算。即在1，2，3??，20中任取两个数求积（所取两数不能重复组合），再求出这些积的和. 如以“1”为准时，其积的和为： 1?2+1?3+1?4+1?5????1?19+1?20=209； 以“2”为准时，其积的和为： 2?3+2?4+2?5????2?19+2?20=414； ??

以此类推，最后为19?20=380，故x18的系数为这些和的和，即20615.

例3.求(1+2x)(1+22x)(1+23x)?(1+2nx)展开式中x项的系数与x2项的系数。 x项的系数是2n?14324n?1?8n?2?2，与x项的系数是?2。

32

2. 求特定的项或特定项的系数：

例1.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5展开式中x2项的系数.

解：（方法一）可逐项分析：(x-1)中没有x2项，-(x-1)2中x2项的系数为?C2，(x-1)3

10中x2项的系数为?C3，-(x-1)4中x2项的系数为?C4，(x-1)5中x2项的系数为?C5，于是，展开式中x2项的系数为：

23?C2?C3?C4?C5=-20.

0123 （方法二）原式可以看成是一个首项为(x-1)，公比为（1-x)的等比数列之和，

?x?1?1??1?x?5?x?1???1?x?6 于是，原式==

1??1?x?x

∴展开式中x2的系数即为(x-1)6的展开式中x3的系数， ∴系数为

????1?C=-20.

336 例2.求(1+x)6(1-x)4的展开式中x3的系数.

解：由乘法法则可知，展开式中x3的项分别由(1+x)6中的项x0, x, x2, x3与(1-x)4中的x3, x2，x, x0项对应相乘合并而成，

故得展开式中x3的系数为?C6C4?C6C4?C6C4?C6C4 =-8.

例3.求（1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数.

510523

解：同上例，可知展开式中x的项是由(1+x)中的x项, x项分别与1-x相乘合并而成，故得x5的系数为C10?C10=207.

9?中x3的系数是9，求a的值. 例4.已知?ax???4?x2???0312213052

?x?r3rrrr?a?r?9?r?9解：??2???????1?1C9????C92ax2 Tr?1?x??2?令3r?9?3得r = 8

29?rr

故T9?16??1?C2889?4ax3?93ax 16∴9a?9 ∴a=4

43. 有关整除或求余数：

例1.求2100除以9的余数. 解:2?964100?3?1?9797100?C1003?C1003?C1003???

982991000100199298?C1003?C1003?C1003_C1003?C100 =(3???C1003)?C1009?C1003?1 =(3???C10027)+9?4950-300+1 ∵(3???C10027)能被9整除，

1009710097100398993故余数由9?4950-300+1确定，而9?4950-300+1=44251=4916?9+7 故余数为7

例2.设n∈N n≠1求证33n-26n-1能被676整除 证明: 33n-26n-1=27 n-26n-1=(26+1)n -26n –1

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