10.4教案(四个课时)

二项式定理教案（一）

高二数学 田茂成

教学目标：

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理 教学重点、难点

重点：用计数原理分析(a?b)3的展开式得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 教学过程

（一）提出问题：

引入：二项式定理研究的是(a?b)n的展开式。如(a?b)2?a2?2ab?b2，(a?b)3=? (a?b)4=? (a?b)100=? 更进一步：(a?b)n=？

（二）对(a?b)2展开式的分析

(a?b)2?(a?b)(a?b) 展开后其项的形式为：a2,ab,b2

考虑b，每个都不取b的情况有1种，即c002 ,则a2前的系数为c2 恰有1个取b的情况有c1ab前的系数为c12种，则2 恰有2个取b的情况有c2222 种，则b前的系数为c2 所以 (a?b)2?a2?2ab?b2?c02222a?c12ab?c2b

类似地 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3?c03a3?c12b?c22333a3ab?c3b 思考：(a?b)4?(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)=? 问题：

1)．(a?b)4展开后各项形式分别是什么？a4 a3b a2b2 2)．各项前的系数代表着什么？

各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b的方法种数 3)．你能分析说明各项前的系数吗？

每个都不取b的情况有1种，即c04前的系数为c04,则a4 恰有1个取b的情况有c1314种，则ab前的系数为c4

恰有2个取b的情况有c2b2前的系数为c24 种，则a24 恰有3个取b的情况有c334 种，则ab3前的系数为c4

那么：

ab3 b4 44恰有4个取b的情况有c4种，则b4前的系数为c4 0432223344则 (a?b)4?c4a?c14ab?c4ab?c4ab?c4b

推广：得二项展开式定理： 一般地，对于n?N*有

0nn?12n?223n?33rn?rrn?1nn(a?b)n?cna?c1b?cnab?cnab?......?cnab?......cnabn?1?cnb na右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式

rn?rrcnab：二项展开式的通项，记作Tr?1 02rncn,c1n,cn,......,cn,......,cn： 二项式系数

注1）．二项展开式共有n?1项，每项前都有二项式系数 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此

各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此

22rrn?1n?1?xn 如(1?x)n?1?c1nx?cnx?...?cnx?...?cnx板书设计

二项式定理 (a?b)2?a2?2ab?b2 例题 (a?b)3=? (a?b)4=? (a?b)100=? 0nn?12n?223n?33rn?rrn?1nn(a?b)n?cna?c1b?cnab?cnab?......?cnab?......cnabn?1?cnb na练习 注意：1， 作业 2， 总结

二项式定理(二)

教学目的：

1．进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用；

r2.展开式中的第r?1项的二项式系数Cn与第r?1项的系数是不同的概念。

教学重点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用。 教学难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用。 教学过程： 一、复习巩固

1．二项式定理及其特例：

0n1nrn?rrnna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)， （1）(a?b)n?Cn1rrx???Cnx???xn. （2）(1?x)n?1?Cnrn?rrab 2．二项展开式的通项公式：Tr?1?Cn二、知识运用 【例1】

（1）求(1?2x)7的展开式的第四项的系数；

（2）求(x?)9的展开式中x3的系数及二项式系数 1x3(2x)3?280x3， 解：(1?2x)7的展开式的第四项是T3?1?C7∴(1?2x)7的展开式的第四项的系数是280．

r9?rx(?)r?(?1)rC9rx9?2r， （2）∵(x?)9的展开式的通项是Tr?1?C91x∴9?2r?3，r?3，

1x33??84，x3的二项式系数C9?84． ∴x3的系数(?1)3C9【例2】

求(x2?3x?4)4的展开式中x的系数 分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理

展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开 解：（法一）(x2?3x?4)4?[(x2?3x)?4]4

02122324?C4(x?3x)4?C4(x?3x)3?4?C4(x2?3x)2?42?C4(x?3x)?43?C4?44，

显然，上式中只有第四项中含x的项，

3∴展开式中含x的项的系数是?C4?3?43??768

（法二）：(x2?3x?4)4?[(x?1)(x?4)]4?(x?1)4(x?4)4

0413223404132234?(C4x?C4x?C4x?C4x?C4)(C4x?C4x?4?C4x?42?C4x?43?C4?44)

3433∴展开式中含x的项的系数是?C44?C44??768．

【例3】

已知f(x)??1?2x???1?4x? (m,n?N*)的展开式中含x项的系数为36，求展

mn开式中含x2项的系数最小值 分析：展开式中含x2项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得

2m?4n?36，从而转化为关于m或n的二次函数求解 解：?1?2x???1?4x?展开式中含x的项为

mn1111Cm?2x?Cn?4x?(2Cm?4Cn)x

11?4Cn)?36，即m?2n?18， ∴(2Cm?1?2x?m??1?4x?n展开式中含x2的项的系数为

2222t?Cm2?Cn4?2m2?2m?8n2?8n，

∵m?2n?18， ∴m?18?2n，

∴t?2(18?2n)2?2(18?2n)?8n2?8n?16n2?148n?612

?16(n2?3715337n?)，∴当n?时，t取最小值，但n?N*， 448∴ n?5时，t即x2项的系数最小，最小值为272，此时n?5,m?8． 【例4】

已知(x?124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 12??1?Cn?()2，即n2?9n?8?0，∴n?8(n?1舍去） 解：由题意：2Cn1212 ∴Tr?1?Cr8?x?8?r16?3rrrr??0?r?8?1rr8?rC824?(?4)?(?)?C8x?x???1?r?x4?? 22r?Z2x??1r①若Tr?1是常数项，则

16?3r?0，即16?3r?0， 416?3r为整数， 4351?2x，T9?x 8256∵r?Z，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若Tr?1是有理项，当且仅当

∴0?r?8,r?Z，∴ r?0,4,8，

即 展开式中有三项有理项，分别是：T1?x4，T5?三、课堂练习 1．(x?26)展开式中常数项是（ ） x44A.第4项 B.24C6 C.C6 D.2

2．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是（ ） A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.1024 3．(1?2)7展开式中有理项的项数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7

4．设(2x-3)4=a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4，则a0+a1+a2+a3的值为（ ） A.1 B.16 C.-15 D.15

5．(x3?)11展开式中的中间两项为（ ）

5125126951051359517513x,C11x B.C11x,?C11x C. ?C11A.?C11x,C11x D.C11x,?C11x

1x6．在(2x?y)7展开式中，x5y2的系数是 13122nn7．C0n?3Cn?3Cn???3Cn? 8. (35?120)的展开式中的有理项是展开式的第 项 59．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 10．(1?3x?3x2?x3)10展开式中系数最大的项是 答案：

36?r32r44r2，选（B）1．通项Tr?1?Cx()?C6x22r，由6?r?0?r?4，常数项是T5?C6

2xr66?r2．设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是

r2f(1)?f(?1)?(?2)11/2??1024，选C 2rr(2)r?C72，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，3．通项Tr?1?C7选（A）

4.C 5.C 6.

224; 7.4n; 8.3,9,15,21 39．(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35 1510．(1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16=C1530x.

四、小结 ：1．三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性；

2．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二项式定理(三)

教学目的：

1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；

3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力 教学重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。 教学难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。 教学过程： 一、复习巩固

1． 二项式定理及其特例：

0n1nrn?rrnna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)， （1）(a?b)n?Cn

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