2012年高考真题理科数学解析分类汇编3（导数）(5)

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f(x2)?f(x1)eax2?eax1??1. （Ⅱ）由题意知，k?x2?x1x2?x1eax2?eax1,则 令?(x)?f?(x)?k?ae?x2?x1axeax1a(x2?x1)??(x1)??e?a(x2?x1)?1?, ??x2?x1eax2a(x1?x2)??(x2)?e?a(x1?x2)?1?. ??x2?x1令F(t)?e?t?1，则F?(t)?e?1.

当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递减；当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递增. 故当t?0，F(t)?F(0)?0,即e?t?1?0. 从而ea(x2?x1)ttt?a(x2?x1)?1?0，ea(x1?x2)eax1eax2?0,?0, ?a(x1?x2)?1?0,又

x2?x1x2?x1所以?(x1)?0,?(x2)?0.

因为函数y??(x)在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在x0?(x1,x2)使?(x0)?0,??(x)?ae2ax?0,?(x)单调递增，故这样的c是唯一的，且

1eax2?eax11eax2?eax1c?ln,x2)时， f?(x0)?k. .故当且仅当x?(lnaa(x2?x1)aa(x2?x1)综上所述，存在x0?(x1,x2)使f?(x0)?k成立.且x0的取值范围为

1eax2?eax1(ln,x2). aa(x2?x1)

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出f(x)取最小值f(11111x∈R，f(x) ?1恒成立转化为ln)??ln对一切.aaaaaf(x)min?1，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函

数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.

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