2012年高考真题理科数学解析分类汇编3（导数）(2)

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【解析】（1）对于方程2x?3(1?a)x?6a?0 判别式??9(1?a)?48a?3(a?3)(3a?1) 因为a?1，所以a?3?0 ① 当1?a?② 当a?当a?221时，??0，此时B?R，所以D?A； 31时，??0，此时B?{x|x?1}，所以D?(0,1)?(1,??)； 312时，??0，设方程2x?3(1?a)x?6a?0的两根为x1,x2且x1?x2，则 3x1?3(1?a)?3(a?3)(3a?1)3(1?a)?3(a?3)(3a?1)，x2?

44B?{x|x?x1或x?x2}

③ 当0?a?13时，x1?x2?(1?a)?0，x1x2?3a?0，所以x1?0,x2?0 32此时，D?(x,x1)?(x2,??)

?(0,3(1?a)?3(a?3)(3a?1)3(1?a)?3(a?3)(3a?1))?(,??)

44④ 当a?0时，x1x2?3a?0，所以x1?0,x2?0

此时，D?(x2,??)?(3(1?a)?3(a?3)(3a?1),??)

42（2）f?(x)?6x?6(1?a)x?6a?6(x?1)(x?a)，a?1

所以函数f(x)在区间[a,1]上为减函数，在区间(??,a]和[1,??)上为增函数

1?a?1 3 ②x?a是极点?a?A,a?B?0?a?1

1 得：a?0时，函数无f(x)极值点，0?a?时，函数f(x)极值点为a，

31 ?a?1时，函数f(x)极值点为1与a

3 ①x?1是极点?1?B?14.【2012高考安徽理19】（本小题满分13分） 设f(x)?ae?x1?b(a?0)。 aex（I）求f(x)在[0,??)上的最小值；

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（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?3x；求a,b的值。 2【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。

11a2t2?1【解析】（I）设t?e(t?1)；则y?at?， ?b?y??a?2?2atatatx1?b在t?1上是增函数， at1得：当t?1(x?0)时，f(x)的最小值为a??b。

a1②当0?a?1时，y?at??b?2?b，

at1x当且仅当at?1(t?e?,x??lna)时，f(x)的最小值为b?2。

a11xx（II）f(x)?ae?x?b?f?(x)?ae?x，

aeae①当a?1时，y??0?y?at?12?2?ae??b?3a??f(2)?3?????ae2e2??由题意得：?。 3???131f(2)???ae2??b???22??ae2?2?15.【2012高考福建理20】（本小题满分14分）已知函数f（x）=e＋ax-ex，a∈R. （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知

识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.

解答：

（Ⅰ）f(x)?e?ax?ex?f?(x)?e?2ax?e 由题意得：f?(1)?e?2a?e?0?a?0

x2xx

2

?0? f?(x)?e?ex?x1,?f(?x)?0?x

得：函数f(x)的单调递增区间为(1,??)，单调递减区间为(??,1) （Ⅱ）设P(x0,f(x0))； 则过切点P的切线方程为y?f?(x0)(x?x0)?f(x0) 令g(x)?f(x)?f?(x0)(x?x0)?f(x0)；则g(x0)?0

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切线与曲线只有一个公共点P?g(x)?0只有一个根x0 g?(x)?f?(x)?f?(x0)?e?e0?2a(x?x0)，且g?(x0)?0 （1）当a?0时，g?(x)?0?x?x0,g?(x)?0?x?x0 得：当且仅当x?x0时，g(x)min?g(x0)?0 由x0的任意性，a?0不符合条件（lby lfx） （2）当a?0时，令

xxh(x)?ex?ex0?2a(x?x0)?h?(x)?ex?2a?0?x?x??ln(?2a)

①当x??x0时，h?(x)?0?x?x0,h?(x)?0?x?x0

当且仅当x?x0时，g?(x)?g?(x0)?0?g(x)在x?R上单调递增 ?g(x)?0只有一个根x0

②当x??x0时，h?(x)?0?x?x?,h?(x)?0?x?x?

得：g?(x?)?g?(x0)?0，又x???,g?(x)???,x???,g?(x)??? 存在两个数x0?x??使，g?(x0)?g?(x??)?0

得：g?(x)?0?x0?x?x???g(x??)?g(x0)?0又x???,g?(x)??? 存在x1?x??使g(x??)?0，与条件不符。 ③当x??x0时，同理可证，与条件不符

从上得：当a?0时，存在唯一的点P(ln(?2a),f(ln(?2a))使该点处的切线与曲线只有一个公共点P

16.【2012高考全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]. （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是函数中有三角函数，要利用三角函数的有界性，求解单调区间。另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。

解：f?(x)?a?sinx。

（Ⅰ）因为x?[0,?]，所以0?sinx?1。

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当a?1时，f?(x)?0，f(x)在x?[0,?]上为单调递增函数； 当a?0时，f?(x)?0，f(x)在x?[0,?]上为单调递减函数； 当0?a?1时，由f?(x)?0得sinx?a，

由f?(x)?0得0?x?arcsina或??arcsina?x??； 由f?(x)?0得arcsina?x???arcsina。

所以当0?a?1时f(x)在[0,arcsina]和[??arcsina,?]上为为单调递增函数；在

[arcsina,??arcsina]上为单调递减函数。[来源:Zxxk.Com]

（Ⅱ）因为f(x)?1?sinx?ax?cosx?1?sinx?ax?1?sinx?cosx 当x?0时，0?1?sin0?cos0?0恒成立 当0?x??时，ax?1?sinx?cosx?a?令g(x)?1?sinx?cosx1?sinx?cosx?a?[]min

xx1?sinx?cosx(0?x??)，则

x(cosx?sinx)x?1?sinx?cosx(1?x)cosx?(x?1)sinx?1 g?(x)??22xx又令c(x)?(1?x)cosx?(x?1)sinx?1，则

c?(x)?cosx?(1?x)sinx?sinx?(x?1)cosx??x(sinx?cosx)

则当x?(0,当x?(3?)时，sinx?cosx?0，故c?(x)?0，c(x)单调递减 43?,?]时，sinx?cosx?0，故c?(x)?0，c(x)单调递增 43?所以c(x)在x?(0,?]时有最小值c()??2?1，而

4x?0?limc(x)?(1?0)cos0?(0?1)sin0?1?0，lim?c(x)?c(?)??(1??)?1?0

x??综上可知x?(0,?]时，c(x)?0?g?(x)?0，故g(x)在区间(0,?]单调递 所以[g(x)]min?g(?)?2?

故所求a的取值范围为a?2?。[来源:Z。xx。k.Com]

另解：由f(x)?1?sinx恒成立可得f(?)?1?a??1?1?a?2?

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令g(x)?sinx?2?22?当x?(0,arcsin)时，g?(x)?0，当x?(arcsin,)时，g?(x)?0[来源:学科网]

??2?2?又g(0)?g()?0，所以g(x)?0，即x?sinx(0?x?)

2?22故当a??x(0?x??)，则g?(x)?cosx?2

2?时，有f(x)?2?x?cosx（lbylf x）

①当0?x?②当

?2时，

2?x?sinx，cosx?1，所以f(x)?1?sinx

2?2?x??时，f(x)??x?cosx?1?2(x?)?sin(x?)?1?sinx

?222??综上可知故所求a的取值范围为a??。

【点评】试题分为两问，题词面比较简单，给出的函数比较新颖，因为里面还有三角函数，

这一点对于同学们来说有点难度，不同于平时的练习题，相对来说做得比较少。但是解决的关键还是要看导数的符号，求解单调区间。第二问中，运用构造函数的思想，证明不等式，一直以来是个难点，那么这类问题的关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。 17.【2012高考北京理18】（本小题共13分）

3已知函数f(x)?ax?1?a?0?，g(x)?x?bx.

2（1）若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点?1,c?处具有公共切线，求a，b的值； （2）当a2?4b时，求函数f(x)?g(x)的单调区间，并求其在区间???,?1?上的最大值. 解：（?）由?1，c?为公共切点可得：?

f(x)?ax2?1(a?0)，则f?(x)?2ax，k1?2a，

g(x)?x3?bx，则f?(x)=3x2?b，k2?3?b，

?2a?3?b?

又f(1)?a?1，g(1)?1?b，

?a?1?1?b，即a?b，代入①式可得：??a?3． b?3?1（2）?a2?4b，?设h(x)?f(x)?g(x)?x3?ax2?a2x?1

41aa则h?(x)?3x2?2ax?a2，令h?(x)?0，解得：x1??，x2??；

426?a?0，????，

?原函数在???，??单调递增，在??，??单调递减，在??，???上单调递增 2266??由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

a2a6??a??a?a??a???

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