盐城海园2009中考试题17-等腰三角形与勾股定理试题及答案(8)

P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．

C E A

P

B

【关键词】圆的性质，三角形相似的性质

【答案】解：?AB是半圆的直径，点C在半圆上， ??ACB?90°． 在Rt△ABC中，AC?AB?BC22?10?6?8

22（2）?PE⊥AB，

??APE?90°．??ACB?90°， ??APE??ACB． 又??PAE??CAB， ?△AEP∽△ABC，

?PEBC?APAC 12

154?PE610??3088??PE?．

19．(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线l∶y＝?2x?8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P?0，k?是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．

（1）连结PA，若PA?PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ l A y O P B l x A y O x （备用图）

【关键词】直线与圆的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质 【答案】 l A y O P B P2 第（2）题 第（1）题

解：（1）⊙P与x轴相切．

l x A C E y O P1 D B x

0?，与y轴交于B?0，-8?， 直线y??2x?8与x轴交于A??4，?OA?4，OB?8，

?PB?PA?8?k． 由题意，OP??k，2?k??3， 在Rt△AOP中，k?4??8?k?，22?OP等于⊙P的半径，?⊙P与x轴相切．

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD．

当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E．

?△PCD为正三角形，?DE?12CD?32，PD?3，?PE?332．

??AOB??PEB?90°，?ABO??PBE，?△AOB∽△PEB，

33?AOAB?PEPB，即445?3152，， ?PB?PB2?PO?BO?BP?8?3152?315?，?P?0，?8?，

??2???k?3152?8．

??315当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P?0，-?8?，

??2???k??3152?8，

? 当k?3152?8或k??3152?8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点

的三角形是正三角形．

20．(2009年湖州)若P为△ABC所在平面上一点，且?APB??BPC??CPA?120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）若点P为锐角△ABC的费马点，且?ABC?60°，PA?3，PC?4，则PB的值为________；

（2）如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′． 求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝PA?PB?PC． A B?

B

C

【关键词】阅读理解题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合题 【答案】（1）23． （2）

A E P B

C

B?

证明：在BB?上取点P，使?BPC?120°， 连结AP，再在PB?上截取PE?PC，连结CE．

??BPC?120°， ??EPC?60°， ?△PCE为正三角形，

?PC?CE，?PCE?60°，?CEB?＝120°， ?△ACB?为正三角形， ?AC?B?C，?ACB?＝60°，

??PCA??ACE??ACE??ECB?＝60°， ??PCA??ECB?′， ?△ACP≌△B?CE．

??APC??B?CE?120°，PA?EB?， ??APB??APC??BPC?120°， ?P为△ABC的费马点，

?BB?过△ABC的费马点P，且BB?＝EB?+PB?PE?PA?PB?PC．

21．(2009年温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE． ’ (1)当BD＝3时，求线段DE的长；

(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．

【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定 【答案】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝5， ∵DB为直径，

∴∠DEB＝∠C＝90°，

又∵∠B＝∠B ，∴△DBE∽△ABC ∴

DEAC?95BDAB 即

DE3?35

∴DE＝。

（2）解法一：连结OE，

∵EF为半圆O的切线， ∴∠DEO+∠DEF＝90°， ∵∠AEF+∠DEF＝90°， ∴∠AEF＝∠DEO， ∵△DBE∽△ABC， ∴∠A＝∠EDB，

又∵∠EDO＝∠DEO， ∴∠AEF＝∠A， ∴△FAE是等腰三角形。 解法二：连结OE，

∵EF为半圆O的切线， ∴∠AEF+∠OEB＝90°，

∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵OE＝OB

∴∠OEB＝∠B， ∴∠AEF＝∠A

∴△FAE是等腰三角形。

22．（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45?方向上． （1）求出A，B两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

北

东

D C

l

A B

【关键词】等腰直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图

【答案】解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得?A??B?45°． ?△ACO和△BDO都是等腰直角三角形． ?AO?2，BO?22．

2?22?32（km）．

?A，B两村的距离为AB?AO?BO?方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E． 易证四边形CDBE是矩形， ?CE?BD?2

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