盐城海园2009中考试题17-等腰三角形与勾股定理试题及答案(4)

D C 【关键词】等腰三角形

【答案】△MBD或△MDE或△EAD

26．（2009辽宁朝阳）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE?AB于点E，DF?AC于点F．若BC?2，则DE?DF?_____________． 【关键词】正三角形与面积 【答案】3 A E B

D

F C

三、解答题

1．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB＝DC,AD＝2,BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD． （1）证明：ΔBAD≌ΔDCE；

（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值． A D B F C

（第24题）

E

【关键词】在等腰梯形性质进行转化。 【答案】

??CDA??DCE． （1）证明：?AD∥BC，又?四边形ABCD是等腰梯形，??BAD??CDA， ??BAD??DCE． ?AB?DC，AD?CE， ?△BAD≌△DCE．

?四边形ACED是平行四边形， （2）?AD?CE，AD∥BC，?AC∥DE．

?AC?BD，?DE?BD．

由（1）可知，△BAD≌△DCE，?DE?BD． 所以，△BDE是等腰直角三角形，即?E?45°， ?DF?FE?FC?CE．

?四边形ABCD是等腰梯形，而AD?2，BC?4，

?FC?1． ?CE?AD?2 ?DF?3．

．（2009年浙江省绍兴市）如图，在△ABC中，AB?AC，?BAC?40°，分别以

AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使?BAD??CAE?90°．

（1）求?DBC的度数；

（2）求证：BD?CE．

【关键词】等腰三角形的性质

【答案】（1）ΔABD是等腰直角三角形，?BAD?90°，所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,所以∠CBD＝70°+45°＝115°．

(2)AB＝AC,?BAD??CAE?90°,AD＝AE,所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE． 2．（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(?8，0)，直线BC经过点B(?8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转?度得到四边形OA?B?C?，此时直线OA?、直线B?C?分别与直线BC相交于点P、Q． （1）四边形OABC的形状是 ， 当??90°时，

BPBQ的值是 ；

（2）①如图2，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时，求

BPBQ的值；

②如图3，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时，求△OPB?的面积．

（3）在四边形OABC旋转过程中，当0??≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使

BP?12BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

B? y y Q C? y A? ? Q） B（B A? P C B C P B C A O （图2）

x A

O （图3）

C? x A O （备用图）

x

【关键词】勾股定理

【答案】解：（1）矩形（长方形）； BPBQ?47．

（2）①??POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°， ?△COP∽△A?OB?．

?CPA?B??92OCOA?，即

CP6?68，

72?CP?，BP?BC?CP?．

同理△B?CQ∽△B?C?O， CQC?QB?CB?C?CQ610?68??，即?，

?CQ?3，BQ?BC?CQ?11．

?BPBQ?722．

②在△OCP和△B?A?P中， ??OPC??B?PA?，? ??OCP??A??90°，?OC?B?A?，??△OCP≌△B?A?P(AAS)． ?OP?B?P． 设B?P?x，

222在Rt△OCP中， (8?x)?6?x，解得x?254．

?S△OPB??12?254?6?754．

（3）存在这样的点P和点Q，使BP???32?6，6?，P2?12BQ．

点P的坐标是P1??9??7?6?． ??，?4?对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q画QH⊥OA?于H，连结OQ，则QH?OC??OC，

?S△POQ?12PQ?OC，S△POQ?12OP?QH，

?PQ?OP．

设BP?x，

?BP?12BQ，

?BQ?2x，

① 如图1，当点P在点B左侧时，

OP?PQ?BQ?BP?3x，

在Rt△PCO中，(8?x)2?62?(3x)2，

y B? y B? P B A? Q C H C? B A? P H O C Q C? A

O x 32A x 解得x1?1?326，x2?1?326（不符实际，舍去）．

?PC?BC?BP?9?6，

3??P1??9?2??6，6?．

?②如图2，当点P在点B右侧时，

?OP?PQ?BQ?BP?x，PC?8?x．

222在Rt△PCO中，(8?x)?6?x，解得x?254．

?PC?BC?BP?8?254?74，

?7??P2??，6?．

?4?综上可知，存在点P1??9???32?6，6?，P2?1?7?，使BP?BQ． ?，6??2?4?3．(2009年义乌)如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD?BC于点D， 以AD为一边向右作正三角形ADE。

（1）求?ABC的面积S；

（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。 【关键词】正三角形 【答案】

解：（1）在正△ABC中，AD?4??S?12BC?AD?1232?23，

?4?23?43．

（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．

在△CDF中，??CDE?90°??ADE?30°，

??CFD?180°??C??CDE?180°?60°?30°?90°， ?AC⊥DE．

4．（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，

AB?50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1?PA?PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A?，连接BA?交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2?PA?PB．

（1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2?PA?PB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为

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