2015年江西省上饶市高考数学三模试卷（理科）(5)

则SEGFH=分）

=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10

设t=1+k，则t＞1，那么SEGFH=

2

==

当t=2，即k=±1时，SEGFH取最小值，当t→+∞时，SEGFH→6．

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

综上所述，四边形EGFH面积的取值范围为

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

点评： 本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查四边形面积的计算，属于中档题． 21．（12分）（2015?上饶三模）已知函数f（x）=（mx+1）（1nx﹣3）． （1）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1的切线方程； （2）设点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））满足1nx1?1nx2=31n（x1?x2）﹣8，（x1≠x2），判断是否存在点P（m，0），使得∠APB为直角？说明理由；

（3）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）通过m=1，求出取得坐标，切线的斜率，然后求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；

（2）设点P（m，0），A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））满足lnx1?lnx2=ln（x1?x2）（x1≠x2），化简向量数量积的表达式，推出数量积是否为0，即可判断是否存在实数m，使得∠APB为直角；

（3）求出函数的导数，通过函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，导数大于等于0．构造新函数，通过新函数的值域，求解实数m的取值范围； 解答： 解：（1）m=1，函数f（x）=（x+1）（lnx﹣3）． ∴f（1）=﹣6，切点坐标（1，﹣6）， ∴f′（x）=（lnx﹣3）+（x+1）， ∴f′（1）=1，

∴切线方程为：y﹣6=x﹣1． ∴切线方程为x+y+5=0； （2）依题意得∴

=（x1﹣m，f（x1）），

=（x2﹣m，f（x2）），

=（x1﹣m）（x2﹣m）+f（x1）f（x2）

=（x1﹣m）（x2﹣m）+（mx1+1）（lnx1﹣3）（mx2+1）（lnx2﹣3）

22

=x1x2﹣m（x1+x2）+m+（mx1x2+m（x1+x2）+1）（lnx1lnx2﹣3（lnx1+lnx2）+9）

22

=x1x2﹣m（x1+x2）+m+（mx1x2+m（x1+x2）+1）

=（1+m）（x1x2+1）＞0

∴不存在实数m，使得∠APB为直角； （3）∵f′（x）=m（lnx﹣3）+（mx+1）

=

，

2

若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立， 有mx（lnx﹣2）+1≥0在（0，+∞）上恒成立， 设h（x）=x（lnx﹣2）， ∴h′（x）=lnx﹣1，

∴h（x）在（0，e）是减函数，在（e，+∞）是增函数， ∴h（x）≥h（e）=﹣e， ∴h（x）值域[﹣e，+∞），

即mt+1≥0在t∈[﹣e，+∞）恒成立， ∴

，

解得0＜m＜．

点评： 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数恒成立，考查转化思想的应用．

四、选考题：请考生在第22?23题中任选一题作答?若多做，则按所做的第一题计分（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 22．（10分）（2015?上饶三模）已知直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为（φ为参数）．

（1）在极坐标系下，若曲线犆与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB的面积；

（2）在直角坐标系下，给出直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线

l的交点坐标．

考点： 椭圆的参数方程；直线的参数方程． 专题： 坐标系和参数方程．

22

分析： （1）通过令cosφ+sinφ=1，得曲线C在直角坐标系下的普通方程，再将其化为极

坐标方程，分别代入θ=和θ=﹣，得|OA|=|OB|=，利用三角形面积公式即得结论；

22

（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，再将t的值代入l的参数方程，即得结论． 解答： 解：（1）∵曲线C的参数方程为∴cosφ+sinφ=（）+y=1，

2

2

2

2

（φ为参数），

∴曲线C在直角坐标系下的普通方程为将其化为极坐标方程为分别代入θ=∵∠AOB=

和θ=﹣

，得|OA|=|OB|=，

2

2

，

，

，∴△AOB的面积S=|OA||OB|=；

（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程， 得

解得t=0或t=﹣

+t=1，即t+，

，

．

2

2

t=0，

代入l的参数方程，得x=2，y=0，或

所以曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或

点评： 本题考查坐标系与参数方程，对参数方程与极坐标方程之间的灵活转化是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

【选修4-5：不等式选讲】 23．（2015?上饶三模）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|． （1）求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）＞a﹣x+2x在R上恒成立，求实数a的取值范围．

考点： 带绝对值的函数． 专题： 综合题；不等式．

分析： （1）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；

22

（2）分类讨论，去掉绝对值，利用不等式f（x）＞a﹣x+2x在R上恒成立，即可求实数a的取值范围．

22

解答： 解：（1）x＜﹣1时，不等式可化为1﹣x﹣x﹣1≥3，∴x≤﹣，∴x≤﹣； ﹣1≤x≤1时，不等式可化为1﹣x+x+1≥3，不成立； x＞1时，不等式可化为x﹣1+x+1≥3，∴x≥，∴x≥， ∴不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤﹣或x≥}；

（2）x＜﹣1时，不等式f（x）＞a﹣x+2x可化为a＜（x﹣2）﹣4，∴a＜5，∴﹣＜a＜；

22222

﹣1≤x≤1时，不等式f（x）＞a﹣x+2x可化为a＜（x﹣1）+1，∴a＜1，∴﹣1＜a＜1；

22222

x＞1时，不等式f（x）＞a﹣x+2x可化为a＜x，∴a＜1，∴﹣1＜a＜1， ∴﹣＜a＜．

2

2

2

2

2

点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．

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