2015年江西省上饶市高考数学三模试卷（理科）(4)

∴sin∠DAC=则由正弦定理得即

，sin∠C=， ，

，即y=，

sin∠ADB=sin（∠DAC+∠C）=则∠ADB=

，

，

×+×=，

在△ABD中，即2=4x+2x﹣2×

2

2

2

，

=2x，

=2+1﹣2×

=5，

2

即x=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=在△ACD中，AC=AD+CD﹣2AD?CDcos

2

2

2

即AC=， 故答案为：．

点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．

三、解答题（共5小题，满分60分） 17．（12分）（2015?上饶三模）已知数列{an}的首项a1=1，an+1=2an+1． （1）求证：{an+1}是等比数列； （2）求数列{nan}的前n项和Sn．

考点： 数列的求和．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）由an+1=2an+1可得an+1+1=2（an+1），结合等比数列的通项公式即可求解；

n

（2）由（1）可得，nan=n?2﹣n，分组后结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求．

解答： 解：（1）∵a1=1，an+1=2an+1． ∴an+1+1=2（an+1），a1+1=2，

∴数列{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列；

n﹣1n

（2）由（1）可得an+1=2?2=2，

n

∴an=2﹣1，

n

则nan=n?2﹣n，

2n

令Tn=1?2+2?2+…+n?2，

23nn+1

则2Tn=1?2+2?2+…+（n﹣1）?2+n?2，

两式相减可得，﹣Tn=2+2+…+2﹣n?2=2

n+1

2nn+1

=﹣n?2

n+1

﹣2﹣n?2

n+1

，

∴Tn=（n﹣1）?2

n+1

+2，

n+1

∴前n项和Sn=（n﹣1）?2

+2﹣n（1+n）．

点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求数列的通项公式，及分组求和、

错位相减求和方法的应用． 18．（12分）（2015?上饶三模）对某校高二年级学生暑期参加社会实践次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社会实践的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图： 分组 频数 频率 [10，15） 20 0.25 [15，20） 48 n [20，25） m p [25，30） 4 0.05 合计 M 1

（1）求出表中M，p及图中a的值；

（2）在所取样本中，从参加社会实践的次数不少于20次的学生中任选3人，记参加社会实践次数在区间[25，30）内的人数为X，求X的分布列和期望．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 专题： 概率与统计．

分析： （1）读频率分布直方图得出各自对应的值．（2）求出x的所有可能取值和各自的概率从而得出分布列 解答： 解：（1）可得M=80，p=0.1，a=0.12．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） （2）X的取值为0，1，2，3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 分布列如下： X 0 1 2 3 P

可得 EX=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

点评： 本题考查的是频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题，高考常考题型

19．（12分）（2015?上饶三模）如图，已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是

BC的中点，将△BAE沿AE折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F为B1D的中点． （1）证明：AE⊥B1D；

（2）求二面角F﹣AC﹣B1的余弦值．

考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．

分析： （1）作辅助线利用线面垂直证明AE⊥B1D；

（2）建立合理的坐标系求出坐标利用两个面的法向量求得余弦值

解答： （1）证明：取AE的中点M，连接MB1，MD，则AE⊥MB1，AE⊥MD，所以AE⊥面MDB1，则AE⊥B1D﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（2）解：分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则

，

，

，

设面ACF的法向量为

，

，

，

，

由有令x=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7

分）

设B1AC的法向量

，有

令x2=1，

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

所以，

二面角F﹣AC﹣B1为锐角，故二面角F﹣AC﹣B1的余弦值为

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣（12分）

点评： 本题考查利用线面垂直的性质定理证明线线垂直的方法和利用建立坐标系求得二面角的余弦值，属中档题，高考常考题型．

20．（12分）（2015?上饶三模）已知圆A：（x+1）+y=

2

2

，圆B：（x﹣1）+y=，动圆D

22

和定圆A相内切，与定圆B相外切，

（1）记动圆圆心D的轨迹为曲线C，求C的方程；

（2）M?N是曲线C和x轴的两个交点，P是曲线C上异于M?N的一点，求证kPM．kPN为定值；

（3）过B点作两条互相垂直的直线l1，l2分别交曲线C于E?F?G?H，求四边形EGFH面积的取值范围．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）由动圆M和定圆A相内切，与定圆B相外切，可得MA+MB=4，即可求C的方程；

（2）由题意可得，M（﹣2，0），N（2，0），设P（x0，y0），求出斜率，即可得出kPM．kPN为定值；

（3）联立直线方程和椭圆方程，求出EF?GH，可得四边形EGFH面积，换元，即可得出取值范围． 解答： 解：（1）设动圆圆心M（x，y），半径为r，由动圆M和定圆A相内切，与定圆B相外切，可得

，所以MA+MB=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 则M是以AB为焦点的椭圆，分

（2）由题意可得，M（﹣2，0），N（2，0），设P（x0，y0），则有

，

，所以曲线C的方程为

．﹣﹣3

那么kPM?kPN=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（3）（Ⅰ）当l1、l2中有一条斜率不存在时，不妨设l1⊥x轴，则l2与x轴重合．则EF=3，MN=4， 所以（7分）

（Ⅱ）当l1、l2的斜率均存在时，不妨设l1的斜率为k（k≠0），则l2的斜率为设E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）， 因为B（1，0），所以联立直线方程和椭圆方程，

，

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

有，得

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

所以将k换为

，有x3+x4=

，

x3x4=

，GH=，

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