2015年江西省上饶市高考数学三模试卷（理科）(3)

10．已知P，Q为△ABC中不同的两点，若3S△QAB为（ ）

A． 1：2 B． 2：5 C． 5：2 D． 2：1

考点： 向量的线性运算性质及几何意义． 专题： 平面向量及应用．

+2+=，3

，则S△PAB：

分析： 由已知向量等式得到S△PAB=S△ABC，S△QAB=解答： 解：由题意，S△PAB=S△ABC，S△QAB=

S△ABC，可求面积比．

S△ABC，

所以，S△PAB：S△QAB=2：5．

故选：B．

点评： 本题主要考查了向量的计算与运用．考查了学生综合分析问题的能力．

11．从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若OP=，则球的体积为（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 球的体积和表面积；棱锥的结构特征． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 利用几何图形得出△ABC和△PAB为正三角形，根据正三角形的几何性质得出

=，=，

再直角三角形的几何性质得出球的体积． 解答： 解：

=所以OA=整体求解即可，得出半径求解

连接OP交平面ABC于O′，

由题意可得：△ABC和△PAB为正三角形， 所以O'A=

AB=

AP．因为AO'⊥PO，OA⊥PA，

所以=，=，

=所以OA=

=

=1，

球的半径为1， 故体积为×π×1=π，

故选：C

点评： 本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征，考查计算能力．

12．定义：如果函数（fx）在[a，b]上存在x1，x（满足f（′x1）=2a＜x1＜x2＜b）f′（x2）

3

2

3

，

，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）

=x﹣x+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（ ） A． （，） B． （0，1） C． （，1） D． （，1）

考点： 函数的单调性与导数的关系；变化的快慢与变化率．

专题： 导数的综合应用．

分析： 由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=a﹣a，即方程3x﹣2x=a﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围 解答： 解：由题意可知，

在区间[0，a]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a）， 满足f′（x1）=

3

2

2

2

2

==a﹣a，

2

∵f（x）=x﹣x+a，

2

∴f′（x）=3x﹣2x，

22

∴方程3x﹣2x=a﹣a在区间（0，a）有两个解．

22

令g（x）=3x﹣2x﹣a+a，（0＜x＜a），

∴

解得＜a＜1，

故选：D．

点评： 本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．设实数x?y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 26 ．

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 解答： 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），

由z=2x+3y，得y=平移直线y=

，

，由图象可知当直线y=

经过点A时，直线y=

的截

距最大，此时z最大． 由

，解得

，

即A（4，6）．

此时z的最大值为z=2×4+3×6=26， 故答案为：26

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

14．执行如图程序框图，如果输入的依次为3，5，3，5，5，4，4，3，4，4，则输出的s为 4 ．

考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

分析： 框图的功能是求数据3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均数，利用平均数公式计算可得答案．

解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求数据3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均数，

∴输出的S==4．

故答案为：4．

点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．

15．若函数f（x）=|1nx|﹣mx恰有3个零点，则m的取值范围为 （0，） ．

考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由题意可得函数y=|1nx|的图象和直线y=mx有3个交点．求出过原点和曲线y=lnx相切的切线的斜率的值，可得m的范围．

解答： 解：由题意函数f（x）=|1nx|﹣mx恰有3个零点， 可得函数y=|1nx|的图象和直线y=mx有3个交点． 设过原点和曲线y=lnx相切的切线的切点为 （a，lna），

则由切线斜率的几何意义可得切线的斜率 为y′|x=a==

，求得a=e，

即此切线的斜率为，∴0＜m＜， 故答案为：

．

点评： 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，切线斜率的几何意义，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．

16．如图，在△ABC中，AB=则AC=

．

，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=

，cos∠C=

，

考点： 解三角形． 专题： 解三角形．

分析： 根据三角形的边角关系结合正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论．

解答： 解：∵BD=2DC，

∴设CD=x，AD=y，则BD=2x，

∵cos∠DAC=，cos∠C=，

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