2015高考数学试卷汇编--- 圆锥曲线与方程(5)

?23?22②当x???1,0?时，有y?t(x?1)?0，因此m?0，于是m???，得m????,??

3x23??综上，直线OP的斜率的取值范围是???,???23??223?,????

3??33?考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.

x2y226.（15年天津文科）已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆

ab(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y222-=1 (B) -=1 (C) -y=1 (D) x-=1 (A)

91313933【答案】D

考点：圆与双曲线的性质.

27.（15年湖南理科）

x2y228.（15年山东理科）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线

abC2:x2?2py(p?0)交于点O,A,B，若?OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 .

x2y22pb2pb22pb2pb2b,2),B(?,2) 解析：C1:2?2?1(a?0,b?0)的渐近线为y??x，则A(aabaaaa2pb2p?2pb25c2a2?b29c3a2a2?，即2?,2?2?,e??. C2:x?2py(p?0)的焦点F(0,)，则kAF?2pb2a4aa4a2ba3x2y229.（15年山东理科）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，左、2ab右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

x2y2（Ⅱ）设椭圆E:2?2?1，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线y?kx?m交椭圆E于A,B两

4a4b点，射线PO交椭圆E于点Q. （ⅰ）求

|OQ|的值；（ⅱ）求?ABQ面积最大值. |OP|3c3x2y2222解析：（Ⅰ）由椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为可知e??，而a?b?c则

2aba2a?2b,c?3b，左、右焦点分别是F1(?3b,0),F2(3b,0),

圆F1：(x?3b)2?y2?9,圆F2：(x?3b)2?y2?1,由两圆相交可得2?23b?4，即1?3b?2，

交点(4222?，在椭圆C上，则,?1?())223b?4b3b3b421?(2?3b)23b?1， 2b2整理得4b?5b?1?0，解得b?1,b2?1（舍去） 4x2?y2?1. 故b?1,a?4,椭圆C的方程为422x2y2??1， （Ⅱ）（ⅰ）椭圆E的方程为

164x02y?y02?1，射线PO:y?0x(xx0?0)， 设点P(x0,y0)，满足4x0(?2x0)2?(?2y0)2x2y2|OQ|??1可得点Q(?2x0,?2y0)，于是??2. 代入

22164|OP|x0?y0（ⅱ）点Q(?2x0,?2y0)到直线AB距离等于原点O到直线AB距离的3倍：

d?|?2kx0?2y0?m|1?k2?3|m|1?k2

?y?kx?m?2，得x2?4(kx?m)2?16，整理得(1?4k2)x2?8kmx?4m2?16?0 ?xy2?1??164???64k2m2?16(4k2?1)(m2?4)?16(16k2?4?m2)?0 1?k222|AB|?16(16k?4?m) 21?4k11|m||m|16k2?4?m222 S??|AB|d??3??416k?4?m?6221?4k21?4k2m2?16k2?4?m2?6??12，当且仅当|m|?16k2?4?m2,m2?8k2?2等号成立. 22(4k?1)x2?y2?1有交点P，则 而直线y?kx?m与椭圆C：4?y?kx?m有解，即x2?4(kx?m)2?4,(1?4k2)x2?8kmx?4m2?4?0有解， ?22?x?4y?4其判别式?1?64k2m2?16(1?4k2)(m2?1)?16(1?4k2?m2)?0，即1?4k?m，则上述

22m2?8k2?2不成立，等号不成立，

|m|16k2?4?m2?(0,1]，则S??6设t??6(4?t)t在(0,1]为增函数， 221?4k1?4k|m|于是当1?4k?m时S?max?6(4?1)?1?63，故?ABQ面积最大值为12.

30.(15年江苏) 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x?y?1右支上的一个动点。若点P到直线

2222x?y?1?0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 【答案】【解析】

2 2[来源学#科#网Z#X#X#K]

试题分析：设P(x,y),(x?1)，因为直线x?y?1?0平行于渐近线x?y?0，所以c的最大值为直线x?y?1?0与渐近线x?y?0之间距离，为12?2. 2考点：双曲线渐近线，恒成立转化

x2y2231.（15年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，且

ab2右焦点F到左 准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

x2【答案】（1）?y2?1（2）y?x?1或y??x?1．

2（2）当???x轴时，???2，又C??3，不合题意．

当??与x轴不垂直时，设直线??的方程为y?k?x?1?，??x1,y1?，??x2,y2?，

将??的方程代入椭圆方程，得1?2k?2?x2?4k2x?2?k2?1??0，

则x1,2?2k2?2?1?k2?1?2k22?2k2?k?,，C的坐标为?22?，且

1?2k1?2k??2????x2?x1???y2?y1???1?k??x22?x1??222?1?k2?1?2k2．

若k?0，则线段??的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．

k1?2k2????x?从而k?0，故直线?C的方程为y?22?，

1?2kk?1?2k??2?3k2?1?1?k25k2?2??，从而?C?则?点的坐标为??2,． 2?2?k?1?2k??k?1?2k??因为?C?2??，所以

2?3k2?1?1?k2k?1?2k2??42?1?k2?1?2k2，解得k??1．

此时直线??方程为y?x?1或y??x?1． 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系

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