2015高考数学试卷汇编--- 圆锥曲线与方程(4)

（II）如图，??是圆?:?x?2???y?1??方 程．

225的一条直径，若椭圆?经过?，?两点，求椭圆?的2

x2y23??1． 【答案】（I）；（II）

1232【解析】

试题分析：（I）先写过点?c,0?，?0,b?的直线方程，再计算原点?到该直线的距离，进而可得椭圆?的

??y?k?x?2??1离心率；（II）先由（I）知椭圆?的方程，设??的方程，联立?，消去y，可得x1?x2222??x?4y?4b和x1x2的值，进而可得k，再利用???10可得b的值，进而可得椭圆?的方程． 试题解析：（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0， 则原点O到直线的距离d?2bcb2?c2?bc， a由d=1c3c，得a=2b=2a2-c2，解得离心率=. 2a2222(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为x+4y=4b. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且|AB|=10. 易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为y=k(x+2)+1，代入(1)得

(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0

8k(2k+1)4(2k+1)2-4b2,x1x2=-. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-221+4k1+4k由x1+x2=-4，得-从而x1x2=8-2b2.

18k(2k+1)k==-4,解得. 221+4k5?1?于是|AB|?1???|x1?x2|?2?2?2?x1?x2?2?4x1x2?10(b2?2). 22由|AB|=10，得10(b-2)=10，解得b=3.

x2y2+=1. 故椭圆E的方程为

123解法二：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. (2) 依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且|AB|=10. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12+4y12=4b2，x22+4y22=4b2， 两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8y1-y2=0. 易知，AB不与x轴垂直，则x1?x2，所以AB的斜率kAB=因此AB直线方程为y=()y1-y21=.

x1-x221(x+2)+1，代入(2)得x2+4x+8-2b2=0. 2所以x1+x2=-4，x1x2=8-2b2.

5?1?于是|AB|?1???|x1?x2|?2?2?2?x1?x2?2?4x1x2?10(b2?2). 22由|AB|=10，得10(b-2)=10，解得b=3.

x2y2+=1. 故椭圆E的方程为

123考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.

22.（15年陕西文科）已知抛物线y2?2px(p?0)的准线经过点(?1,1)，则抛物线焦点坐标为（ ） A．(?1,0) B．(1,0) C．(0,?1) D．(0,1) 【答案】B 【解析】

试题分析：由抛物线y?2px(p?0)得准线x??所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.

2p，因为准线经过点(?1,1)，所以p?2， 2x2y2223.（15年陕西文科）如图，椭圆E:2?2?1(a?b?0)经过点A(0,?1)，且离心率为.

ab2(I)求椭圆E的方程；

(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.

x2?y2?1； (II)证明略，详见解析. 【答案】(I) 2【解析】

x2c2222c，解得a?2，继而得椭圆的方程为?y2?1；试题分析：(I)由题意知? ,b?1，由a?b?2a2(II) 设P?x1y1?,Q?x2y2?，x1x2?0由题设知，直线PQ的方程为y?k(x?1)?1(k?2)，代入

4k(k?1)2k(k?2)x222?,xx??y2?1，化简得(1?2k)x?4k(k?1)x?2k(k?2)?0，则x1?x， 221221?2k1?2k2由已知??0， 从而直线AP与AQ的斜率之和kAP?kAQ?y1?1y2?1kx1?2?kkx2?2?k ???x1x2x1x1化简得kAP?kAQ?2k?(2?k)x1?x24k(k?1)?2k??2?k??2k?(2k?1)?2.

2k(k?2)x1x2试题解析：(I)由题意知

c2?,b?1， a2综合a?b?c，解得a?2，

222x2?y2?1. 所以，椭圆的方程为2x2?y2?1，得 (II)由题设知，直线PQ的方程为y?k(x?1)?1(k?2)，代入2 (1?2k)x?4k(k?1)x?2k(k?2)?0， 由已知??0，设P?x1y1?,Q?x2y2?，x1x2?0 则x1?x2?224k(k?1)2k(k?2),xx?， 12221?2k1?2k从而直线AP与AQ的斜率之和

kAP?kAQ?y1?1y2?1kx1?2?kkx2?2?k ???x1x2x1x1?11?x?x2???2k?(2?k)1 xxxx2?12?1 ?2k?(2?k)? ?2k??2?k?4k(k?1)?2k?(2k?1)?2.

2k(k?2)考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.

x2y224.（15年天津理科）已知双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的一条渐近线过点2,3 ，且双曲线的一

ab??个焦点在抛物线y2?47x 的准线上，则双曲线的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 （B）??1（C）??1（D）??1 （A）

212828213443【答案】D

考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.

x2y2325.（15年天津理科）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F（-c,0）,离心率为，点M在椭圆上

ab3b443且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=.

4322(I)求直线FM的斜率；

(II)求椭圆的方程；

(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.

?x2y223??223?3,??1 ；(III) ???,?【答案】(I) ； (II) ????.

333323????【解析】

试题分析：(I) 由椭圆知识先求出a,b,c的关系，设直线直线FM的方程为y?k(x?c)，求出圆心到直线

x2y2的距离，由勾股定理可求斜率k的值； (II)由(I)设椭圆方程为2?2?1，直线与椭圆方程联立，求出

3c2c点M的坐标，由FM?43可求出c，从而可求椭圆方程.(III)设出直线FP：y?t(x?1)，与椭圆36?2x2方程联立，求得t??2，求出x的范围，即可求直线OP的斜率的取值范围. 23(x?1)c212222222试题解析：(I) 由已知有2?，又由a?b?c，可得a?3c，b?2c，

a3设直线FM的斜率为k(k?0)，则直线FM的方程为y?k(x?c)，由已知有

?kc??c??b?3??，解得. k??2?????223?k?1?????222x2y2(II)由(I)得椭圆方程为2?2?1，直线FM的方程为y?k(x?c)，两个方程联立，消去y，整理得

3c2c?23?5c?，由3x?2cx?5c?0，解得x??c或x?c，因为点M在第一象限，可得M的坐标为?c,33??22?23?43x2y22??1 ，解得c?1，所以椭圆方程为FM?(c?c)??c?0??323?3?y(III)设点P的坐标为(x,y)，直线FP的斜率为t，得t?，即y?t(x?1)(x??1),与椭圆方程联

x?1?y?t(x?1)6?2x2?22222立?x，消去y，整理得2x?3t(x?1)?6，又由已知，得t??2，解得 y23(x?1)??1?2?3?3?x??1或?1?x?0， 2设直线OP的斜率为m，得m?2y222，即y?mx(x?0)，与椭圆方程联立，整理可得m?2?. xx3①当x???,?1?时，有y?t(x?1)?0，因此m?0，于是m??3?2???223?22m?,，得??? 23?x3?3

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