2017-2018学年新课标A版高中数学必修4：第二章+平面向量+单元同(3)

?x?5－x?＋y?1－y?＝0，∴?xy

＝，4－4?

??x＝2，

解得?

??y＝－2.

→→→

∴MB＝OB－OM＝(5－2,1＋2)＝(3,3)． 21．(12分)

如图，在平面斜坐标系xOy中．∠xOy＝60°，平面上任一点P→

关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)．

(1)若点P的斜坐标为(2，－2)，求点P到O的距离|OP|； (2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程． →→

解 (1)因为点P的斜坐标为(2，－2)，故OP＝2e1－2e2，|OP|2

＝(2e1－2e2)2＝8－8e1·e2＝8－8cos60°＝4，

→

∴|OP|＝2，即|OP|＝2.

→

(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则OM＝xe1＋ye2， →

又|OM|＝1.故(xe1＋ye2)2＝1.

∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1.即x2＋y2＋xy＝1. 故所求方程为x2＋y2＋xy－1＝0.

→→→

22．(12分)如图，在四边形ABCD中，BC＝λAD(λ∈R)，|AB|＝→→→

|AD|＝2，|CB－CD|＝23，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．

(1)求λ的值； →→

(2)求CB·BA的值． →→解 (1)因为BC＝λAD， 所以BC∥AD， →→且|BC|＝λ|AD|. →→

因为|AB|＝|AD|＝2， →

所以|BC|＝2λ. →→

又|CB－CD|＝23， →

所以|BD|＝23.

作AH⊥BD交BD于H， 则H为BD的中点． 在Rt△AHB中，有

BH3

cos∠ABH＝AB＝2，

于是∠ABH＝30°， 所以∠ADB＝∠DBC＝30°. 而∠BDC＝90°，

3所以BD＝BC·cos30°，即23＝2λ·2， 解得λ＝2. (2)由(1)知，

→∠ABC＝60°，|CB|＝4， →→

所以CB与BA的夹角为120°， →→→→故CB·BA＝|CB|·|BA|cos120°＝－4.

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