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2017-2018学年新课标A版高中数学必修4:第二章+平面向量+单元同

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第二章测试

(时间:120分钟,满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.有下列四个表达式: ①|a+b|=|a|+|b|; ②|a-b|=±(|a|-|b|); ③a2>|a|2; ④|a·b|=|a|·|b|.

其中正确的个数为( ) A.0 C.3

B.2 D.4

解析 对于①仅当a与b同向时成立.对于②左边|a-b|≥0,而右边可能≤0,∴不成立.对于③∵a2=|a|2,∴a2>|a|2不成立.对于④当a⊥b时不成立,综上知,四个式子都是错误的.

答案 A

2.下列命题中,正确的是( ) A.a=(-2,5)与b=(4,-10)方向相同 B.a=(4,10)与b=(-2,-5)方向相反 C.a=(-3,1)与b=(-2,-5)方向相反 D.a=(2,4)与b=(-3,1)的夹角为锐角

解析 在B中,a=(4,10)=-2(-2,-5)=-2b, ∴a与b方向相反. 答案 B

3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=( )

A.7 C.13

B.10 D.4

解析 ∵|a+3b|2=(a+3b)2=a2+9b2+6a·b=1+9+6|a||b|cos60°=13,∴|a+3b|=13.

答案 C

1??

4.已知向量a=?8+2x,x?,b=(x+1,2),其中x>0,若a∥b,

?

?

则x的值为( )

A.8 C.2

B.4 D.0

1

解析 ∵a∥b,∴(8+2x)×2-x(x+1)=0,即x2=16,又x>0,∴x=4.

答案 B

5.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满→→→→→足AP=2PM,则AP·(PB+PC)等于( )

4

A.9 4C.-3

4B.3 4D.-9

→→→→

解析 M为BC的中点,得PB+PC=2PM=AP, →→→→∴AP·(PB+PC)=AP2.

→→→2→2又∵AP=2PM,∴|AP|=3|AM|=3.

→→4∴AP2=|AP|2=9. 答案 A

6.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x=( )

A.6 C.4

B.5 D.3

解析 8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3),c=(3,x), ∴(8a-b)·c=(6,3)·(3,x)=18+3x. 又(8a-b)·c=30,∴18+3x=30,x=4. 答案 C

7.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则a·b的取值范围是( )

A.(-1,1) C.(1,+∞)

B.(-1,+∞) D.(-∞,1)

解析 依题意可设a+2b=λa(λ>0), 1

则b=2(λ-1)a,

112

∴a·b=2(λ-1)a=2(λ-1)×2=λ-1>-1. 答案 B

8.设单位向量e1,e2的夹角为60°,则向量3e1+4e2与向量e1

的夹角的余弦值为( )

3A.4 25C.37

5B.37 537D.37

解析 ∵(3e1+4e2)·e1=3e2e2=3×12+4×1×1×cos60°=1+4e1·5,|3e1+4e2|2=9e24×1×1×cos60°=37.

∴|3e1+4e2|=37.

设3e1+4e2与e1的夹角为θ,则 cosθ=

55

=. 37×137

2

1

+16e

22+24e1·e2=9×12+16×12+

答案 D

9.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E为线段OD→→→

的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,则AF=( )

11

A.4a+2b 11C.2a+4b

21B.3a+3b 12D.3a+3b

→→→

解析 如图所示,AF=AD+DF,

由题意知,DE:BE=DF:BA=1:3. →1→∴DF=3AB.

→1111121∴AF=2a+2b+3(2a-2b)=3a+3b. 答案 B

10.已知点B为线段AC的中点,且A点坐标为(-3,1),B点坐

?13?

标为?2,2?,则C点坐标为( )

??

A.(1,-3) C.(4,2)

?55?

B.?-4,4? ??

D.(-2,4)

→→

解析 设C(x,y),则由AB=BC,得 313??1??

?-?-3?,-1?=?x-,y-?,

2??22??2

17??x-2=2,

∴?31??y-2=2,答案 C

11.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b夹角的取值范围是( )

π???A.0,6? ??

?π2π?C.?3,3? ??

?π?

?B.3,π? ???π??D.6,π? ??

??x=4,

??∴C(4,2). ?y=2,?

解析 设a与b的夹角为θ, ∵Δ=|a|2-4a·b≥0,

|a|2a·b|a|21

∴a·b≤4,∴cosθ=≤=. |a||b|4|a||b|2

?π??∵θ∈[0,π],∴θ∈3,π?. ??

答案 B

→→→→

12.在△ABC所在平面内有一点P,如果PA+PB+PC=AB,则△PAB与△ABC的面积之比是( )

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