2017-2018学年新课标A版高中数学必修4：第二章+平面向量+单元同(2)

1A.3 2C.3

1B.2 3D.4

→→→→→→→→→

解析 因为PA＋PB＋PC＝AB＝PB－PA，所以2PA＋PC＝0，PC→→

＝－2PA＝2AP，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示)．所以△1

PAB与△ABC的面积之比是3. 答案 A

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，3)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.

解析 由a∥b，得23cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0， 3π7π∴tanθ＝3，又θ∈[0,2π)，∴θ＝6或6. π7答案 6或6π

14．假设|a|＝25，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________. 解析 设a＝(x，y)，则有x2＋y2＝20.① 又a⊥b，∴a·b＝0，∴－x＋3y＝0.②

由①②解得x＝32，y＝2，或x＝－32， y＝－2，

∴a＝(32，2)，或a＝(－32，－2)． 答案 (32，2)或(－32，－2)

→→

15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB·AC→→＝BA·BC＝2，那么c＝__________.

解析 由题知 →→→→

AB·AC＋BA·BC＝2，

→→→→→→→→→即AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB)＝AB2＝2?c＝|AB|＝2. 答案

2

16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.

其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 解析

当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边

→

形为菱形，如图．∠BAD＝60°，AC＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠BAC＝30°.

答案 ②

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.

(1)当m为何值时，c与d垂直？ (2)当m为何值时，c与d共线？

解 (1)令c·d＝0，则(3a＋5b)·(ma－3b)＝0， 即3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a·b＝0， 29

解得m＝14. 29

故当m＝14时，c⊥d.

(2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b) 即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0， ∵a，b不共线，

??3－λm＝0，∴???5＋3λ＝0，

5??λ＝－3，

解得?9

??m＝－5.

9

故当m＝－5时，c与d共线．

18．(12分)如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.

证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a，则 →→→→→→AD·CE＝(AC＋CD)·(CA＋AE) →→→→→→→→＝AC·CA＋CD·CA＋AC·AE＋CD·AE ＝－a2

＋0＋a·22·2a2223a2＋2·3a·2

＝－a2

＋23a2＋13a2

＝0，

→→

∴AD⊥CE，∴AD⊥CE.

19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，→

AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标．

→

解 设D点坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)，→→

BC＝(－6，－3)，BD＝(x－3，y－2)， →→

∵D在直线BC上，即BD与BC共线， →→

∴存在实数λ，使BD＝λBC， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．

C(－3，－

1)，

??x－3＝－6λ，∴?∴x－3＝2(y－2)， ?y－2＝－3λ，?

即x－2y＋1＝0.①

→→又∵AD⊥BC，∴AD·BC＝0， 即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0. ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②

??x＝1，由①②可得?

?y＝1.?

→

∴|AD|＝

?1－2?2＋22＝5，

→

即|AD|＝5，D(1,1)．

→→→

20．(12分)在直角坐标系中，已知OA＝(4，－4)，OB＝(5,1)，OB→→→

在OA方向上的射影数量为|OM|，求MB的坐标．

解 设点M的坐标为M(x，y)． →→→∵OB在OA方向上的射影数量为|OM|， →→→→∴OM⊥MB，∴OM·MB＝0. →→

又OM＝(x，y)，MB＝(5－x,1－y)， ∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.

→→

又点O，M，A三点共线，∴OM∥OA. xy∴4＝. －4

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