2013山东高考数学二轮复习阶段达标检测4(3)

ππ5π11

又b1＝sin 6·sin 2·sin 6＝4，所以{bn}是以4为首项，－1为公比的等比数列．

（－1）n－1∴bn＝(n＝1，2，3…)．

4

ln x

22．(13分)(2012年济南模拟)已知函数f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝x，其中e是自然常数，a∈R.

1

(1)当a＝1时，求f(x)的极值，并证明|f(x)|>g(x)＋2恒成立；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x， 1x－1

∴f′(x)＝1－x＝x. ∴当00，此时f(x)单调递增． ∴f(x)的极小值为f(1)＝1. ∴f(x)在(0，e]上的最小值为1. 1ln x1证明：令h(x)＝g(x)＋2＝x＋2， 则h′(x)＝

1－ln xx2，

当00，则h(x)在(0，e]上单调递增， 1111

∴h(x)max＝h(e)＝e＋2<2＋2＝1＝f(x)min. 1∴|f(x)|>g(x)＋恒成立．

2

(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x(x∈(0，e])有最小值3， 1ax－1∵f′(x)＝a－x＝x. ①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3， 4∴a＝e(舍去)，

∴a≤0时，不存在实数a使f(x)的最小值为3.

111②当0

14③当a≥e时，f(x)在(0，e]上单调递增，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，∴a＝e(舍去)， 1∴a≥e时，不存在实数a使f(x)的最小值为3.

综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.

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