2013山东高考数学二轮复习阶段达标检测4(2)

显然f{(an)}是首项为2，公比为2的等比数列．

④因为f(x)＝ln|x|，所以f(an)＝ln 2n＝nln 2.显然{f(an)}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列．故应选C.

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13．数列{an}满足a1＝2 012，an＋1＋an＋n2＝0，则a11＝________. （n＋1）2n＋1n2n解析：由an＋1＋an＋n＝0得an＋1＋－2＝－(an＋2－2)，所以

2

2

11211121a11＋2－2＝(2 012＋2－2)×(－1)10＝2 012，得a11＝1 957.

答案：1 957

3

14．(2012年福州质检)在(1＋x)2－(1＋x)4的展开式中，x的系数等于________．(用数字作答)

3

解析：因为(1＋x)2的展开式中x的系数为1，(1＋x)4的展开式中x的系342

数为C3＝4，所以在(1＋x)－(1＋x)的展开式中，x的系数等于－3. 4

答案：－3

15．(2012年高考安徽卷)设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________．

解析：利用向量数量积的坐标运算求解． a＋c＝(1，2m)＋(2，m)＝(3，3m)． ∵(a＋c)⊥b，

∴(a＋c)·b＝(3，3m)·(m＋1，1)＝6m＋3＝0， 1

∴m＝－.

2

∴a＝(1，－1)，∴|a|＝2. 答案：2

16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3，

12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …

由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________.

解析：注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）n2＋n

＝2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为2

2nn＋1＋n正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)

2.

答案：(－1)

n＋1n

2

＋n2 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．当－1≤x≤1，f(x)＝x3.

(1)求证：x＝1是函数y＝f(x)的一条对称轴； (2)当x∈[1，5]时，求f(x)的表达式． 解析：(1)证明：因为f(x)为奇函数， 所以－f(x)＝f(－x)． 因为f(x＋2)＝f(－x)，

所以f [(x－1)＋2]＝f[－(x－1)]． 即f(1＋x)＝f(1－x)，

所以直线x＝1是函数f(x)图象的一条对称轴． (2)因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的函数． 又－1≤x≤1时，f(x)＝x3， 当x∈[1，3]时，x－2∈[－1，1]，

所以f(x)＝f(x－2＋2)＝－f(x－2)＝－(x－2)3. 当x∈(3，5]时，x－4∈(－1，1]，

所以f(x)＝f(x－4＋4)＝f(x－4)＝(x－4)3. 所以当x∈[1，5]时，f(x)的解析式为

3

[1，3]，?－（x－2），x∈

?f(x)＝ 3

（3，5].?（x－4），x∈

18．(12分)(2012年韶关模拟)数列{an}对任意n∈N*，满足an＋1＝an＋1，a3＝2.

(1)求数列{an}通项公式；

1

(2)若bn＝(3)an＋n，求{bn}的通项公式及前n项和．

解析：(1)由已知得an＋1－an＝1，数列{an}是等差数列，且公差d＝1 又a3＝2，得a1＝0，所以an＝n－1 1n－1

(2)由(1)得，bn＝(3)＋n，

11

所以Sn＝(1＋1)＋(3＋2)＋…＋(3)n－1＋n 111

＝1＋3＋32＋…＋n－1＋(1＋2＋3＋…＋n)

311－（）n－

3n（n＋1）3－31nn（n＋1）

Sn＝＝2＋.

1＋221－3

19．(12分)(2012年朝阳模拟)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a－2bsin A＝0.

(1)求角B的大小；

→·→的值．

(2)若a＋c＝5，且a>c，b＝7，求ABAC解析：(1)因为3a－2bsin A＝0， 所以3sin A－2sin Bsin A＝0， 3因为sin A≠0，所以sin B＝2. π

又B为锐角，所以B＝3. π

(2)由(1)可知，B＝3.又因为b＝7，

π

根据余弦定理，得7＝a＋c－2accos 3，

2

2

整理，得(a＋c)2－3ac＝7. 由已知a＋c＝5，得ac＝6. 又a>c，故a＝3，c＝2.

b2＋c2－a27＋4－97

于是cos A＝2bc＝＝14，

47 → → → →所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos A 7＝cbcos A＝2×7×14＝1.

6

20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(5，0)，P(cos α，sin α)，其π

中0≤α≤2. 5 →→

(1)若cos α＝6，求证：PA⊥PO； →→，求sin (2α＋π)的值． (2)若PA∥PO

4解析：(1)解法一 由题设，知

6→→＝(－cos α，－sin α)， PA＝(5－cos α，－sin α)，PO

→→＝(6－cos α)(－cos α)＋(－sin α)2＝－6cos α＋cos 2α＋sin 2α＝－6所以PA·PO

555cos α＋1.

5→→＝0.故P→→.

因为cos α＝6， 所以PA·POA⊥PO

5π11解法二 因为cos α＝6，0≤α≤2，所以sin α＝6， 511

所以点P的坐标为(6，6)．

1111→→＝(－5，－11)．

所以PA＝(30，－6)，PO

665112→→＝11×

PA·PO(－)＋(－

3066)＝0， →→.

故PA⊥PO

(2)由题设，

6→→＝(－cos α，－sin α)．

知PA＝(5－cos α，－sin α)，PO→→， 因为PA∥PO

6所以－sin α·(5－cos α)－sin αcos α＝0， 即sin α＝0.

π

因为0≤α≤2，所以α＝0. π2

从而sin (2α＋4)＝2. 333

21．(13分)(2012年广州高三模拟)f(x)＝sin 4x·sin 4(x＋2π)·sin 2(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n＝1，2，3…)

(1)求数列{an}的通项公式；

（－1）n－1(2)设bn＝sin ansin an＋1sin an＋2，求证：bn＝(n＝1，2，3…)．

4333

解析：(1)∵f(x)＝sin 4x·sin (4x＋2π)· 39sin (2x＋2π)

3331331＝sin 4x·(－cos 4x)·cos 2x＝－2sin 2x ·cos 2x＝－4sin 3x

kππ∴f(x)的极值点为x＝3＋6，k∈Z，从而它在区间(0，＋∞)内的全部极值点按ππ

从小到大排列构成以6为首项，3为公差的等差数列．

ππ2n－1∴an＝＋(n－1)·＝π，(n＝1，2，3，…)．

636

2n－1

(2)证明：由an＝6π知对任意正整数n，an都不是π的整数倍． 所以sin an≠0，从而bn＝sin ansin an＋1sin an＋2≠0. bn＋1sin an＋1sin an＋2sin an＋3sin an＋3于是b＝＝sin a

sin ansin an＋1sin an＋2nnsin （an＋π）

＝＝－1.

sin an

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