平面向量测试题，高考经典试题，附详细答案(3)

13?3?tanC??tan(A?B)??45??1．又0?C?π，?C?π．

1341??453（Ⅱ）C??，?AB边最大，即AB?17．

4又

???tanA?tanB，A，B??0，?，?角A最小，BC边为最小边．

???sinA1?tanA??，??π?由?cosA4且A??0，?，

?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2． ．由得：BC?ABsinCsinAsinC17所以，最小边BC?2．

3、（广东16）（本小题满分12分）

已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

（1）若c?5，求sin∠A的值; （2）若∠A是钝角，求c的取值范围.

解：(1) AB?(?3,?4), AC?(c?3,?4) 当c=5时，AC?(2,?4)

cos?A?cos?AC,AB??(2)若A为钝角，则

?6?165?25?15 进而

sin?A?1?cos2?A?255

252

AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)<0 解得c>3

25显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[3，+?)

4、（广东文16）(本小题满分14分)

已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．

(1)若ABAC?0，求c的值；

(2)若c?5，求sin∠A的值

解: (1) AB?(?3,?4) AC?(c?3,?4 ) 由 ABAC 得 c???3(c?3)?16?25?c3? (2) AB?(?3,?4) AC?(2?,4 ) cos?A?25 3ABACABAC??6?161 ?5205sin?A?1?cos2?A?25 55、（浙江18）（本题14分）已知△ABC的周长为2?1，且sinAsin?（I）求边AB的长； （II）若△ABC的面积为

B2?sin C．

1sinC，求角C的度数． 6（18）解：（I）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?2?1，

BC?AC?2AB，

两式相减，得AB?1． （II）由△ABC的面积

111BCACsinC?sinC，得BCAC?， 263AC2?BC2?AB2由余弦定理，得cosC?

2ACBC

(AC?BC)2?2ACBC?AB21?， ?2ACBC2所以C?60．

6、（山东20）（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里

的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲

船的

北偏西105的方向B1处,此时两船相距20海里.当甲船航 行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方 向的B2处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结A1B2，A2B2?102，A1A2???20?302?102， 60?A1A2B2是等边三角形，?B1A1B2?105??60??45?，

在?A1B2B1中，由余弦定理得

22B1B2?A1B12?A1B2?2A1B1?A1B2cos45?， 2?20?(102)?2?20?102??200222B1B2?102.

因此乙船的速度的大小为

102?60?302. 20答：乙船每小时航行302海里. 7、（山东文17）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?37． （1）求cosC；

5，且a?b?9，求c． 2sinC??37 解：（1）tanC?37，cosC（2）若CBCA?1sin2C?cos2C?1 解得cosC??．

81tanC?0，?C是锐角． ?cosC?．

855（2）CBCA?， ?abcosC?， ?ab?20．

22

又

又

a?b?9

?a2?2ab?b2?81． ?a2?b2?41．

?c2?a2?b2?2abcosC?36． ?c?6．

8、（上海17）（本题满分14分）

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a?2,C?π，4cosB25，求△ABC的面积S． ?2543解： 由题意，得cosB?，B为锐角，sinB?，

55 sinA?sin(π?B?C)?sin? 由正弦定理得 c??3π?72， ?B???4?1010111048， ? S?acsinB??2???．

2275779、（全国Ⅰ文17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若a?33，c?5，求b．

解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?1， 2π． 6222（Ⅱ）根据余弦定理，得b?a?c?2accosB?27?25?45?7．

所以，b?7．

10、（全国Ⅱ17）（本小题满分10分） 在△ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为y． ?（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值．

解：（1）△ABC的内角和A?B?C??，由A?

应用正弦定理，知

2??，B?0，C?0得0?B?．

??AC?BC23sinB?sinx?4sinx，

?sinAsin?

AB?BC?2??sinC?4sin??x?． sinA???

因为y?AB?BC?AC， 所以y?4sinx?4sin?

2???2????x??23?0?x??， ?3??????1cosx?sinx??23 ??2?

（2）因为y?4?sinx????

?43si?nx??????????5????2?3?x???，

?????

所以，当x?????，即x?时，y取得最大值63． ???

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