高二期末复习(2)

（2）自然数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，规定0!?1，排列数公式还可以写成：Anm?n!．

(n?m)!

m（3）当m?n时，全排列公式为An?n!．

（三）组合

1．组合

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的组

m合数，用符号Cn表示．

mAnn(n?1)(n?2)?(n?m?1)组合数公式为C?m?．

Amm!mnm?这里m，n?N*，并且m≤n，组合数公式可以写成Cn

n!0．规定Cn?1．

m!(n?m)!3．组合数的性质

mn?m（1）Cn； ?Cnmmm?1（2）Cn． ?1?Cn?Cn4．排列组合中常用恒等式

（1）!?n≥(n?1)!（或(n?1)!?(n?1)≥n!）． （2）n?n!?(n?1)!?n!．

mmmmm?1（3）Cm?Cm?1?Cm?2???Cm?n?Cm?n?1．

mmm（4）An?CnAm．

（四）二项式定理

1．二项式定理

一般地，对于任意正整数n，都有

0n1n?11rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb．

这个公式所表示的定理叫做二项式定理．等号右边的多项式叫做(a?b)n的二项式展开式，其中系数

rCn(r?0，1，2，?，n)叫做二项式系数．

2．二项展开式的通项公式

高二期末复习知识纲要 第6页

rn?rr1，2，?，n)叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项二项展开式的第r?1项Tr?1?Cnab(r?0，展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．

3．二项式系数的性质

0n1n?1（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn，?Cn，Cn?Cn2n?2rn?r． Cn?Cn，?，Cn?Cnr（2）增减性与最大值：二项式系数Cn，当r?n?1n?1时，二项式系数是递增的；当r?时，二项式22系数是递减的．

当n是偶数时，中间的一项C为最大值． 当n是奇数时，中间两项Cn?12nn2n和Cn?12n相等，且同时为最大值．

（3）各二项式系数的和：(a?b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即

012Cn?Cn?Cn???rCn??nn ?Cn2．?（4）二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即

135024Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1．

概率

一、条件概率与相互独立事件 （一）条件概率

1．条件概率

条件概率的定义：设A，B为两个事件，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率．记作P(B/A)，读作“A发生的条件下B发生的概率”．

2．条件概率的性质 （1）0≤P(B/A)≤1．

（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B?C/A)?P(B/A)?P(C/A)． 3．条件概率的求法

（1）利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B/A)?P(AB)． P(A)（2）借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包

高二期末复习知识纲要 第7页

含的基本事件数，即n(AB)，得P(B/A)?（二）独立事件

1．相互独立事件

n(AB)． n(A)设A，B为两个事件，如果P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．事件A是否发生对事

件B发生的概率没有影响，即P(B/A)?P(B)，这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

2．独立重复试验

（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只

有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中某事件发生的概率均相等．

（2）在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那

kk么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X?k)?Cn p(1?p)n?k，k?0，1，2，3，?，n．

二、离散型随机变量及其分布列 （一）随机变量的概念

1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，且该变量随着试验结果的变化而变化，

Y，?（或希腊字母?，?，?）来表示． 那么这样的变量就叫做随机变量．随机变量常用大写字母X， 2．离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫

做离散型随机变量．对于离散随机变量而言，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可取值按一定次序一一列出．

3．若X是随机变量，Y?aX?b（其中a，b为常数），则Y也是随机变量．

（二）离散型随机变量的分布列

1．离散型随机变量分布列的概念

?，xi，?，xn，X取每一个值一般地，若离散型随机变量X可能取的不同的值为x1，x2，x3，xi(i?1，2，?，n)的概率P(X?xi)?pi，以表格形式表示如下：

X P

x1 x2 ? ? xi ? ? xn p1 p2 pi pn 上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了表达简单，也可以用等式

P(X?xi)?pi(i?1，2，?，n)表示X的分布列．

2．离散型随机变量X的分布列具有两个性质： i?1，2，?，n；（1）pi≥0，（2）p1?p2???pn?1．

高二期末复习知识纲要 第8页

3．常见的离散型随机变量的分布列 （1）两点分布

若随机变量X的分布列为：

X P

0 1?p 1 p 则上面这样的分布列为两点分布列．

如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而成p?P(X?1)为成功概率． （2）超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X?k}发生的概率

kn?kCMCN?M1，2，?，m，其中m?min{M，n}，且n≤N，M≤N，为P(X?k)?，k?0，n，M，N?N*，nCN称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超级和分布列，则称随机变量X服从超几何分布．

X P

0 0n?0CMCN?M nCN1 1n?1CMCN?M nCN? ? m mn?mCMCN?M nCN（3）二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，

kk那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X?k)?Cn p(1?p)n?k，k?0，1，2，?，n．

此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率．

X P 0 1 ? ? nk kkCnp(1?p)n?k ? ? n nnCnp(1?p)0 0011Cnp(1?p)n Cnp(1?p)n?1 kkp(1?p)n?k?[p?(1?p)]n?1． 1，2，?，n；②?Cn显然①P(X?k)≥0，k?0，k?0三、离散型随机变量的均指、方差与正太分布 （一）离散型随机变量的均值（或期望）

1．定义

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X P x1 x2 ? ? xi ? ? xn p1 p2 pi pn 则称EX?x1p1?x2p2???xipi?xnpn为随机变量X的均值或数序期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

2．均值的性质

（1）Ec?c(c为常数）．

高二期末复习知识纲要 第9页

b为常数）（2）E(aX?b)?aEX?b(a，．

（3）E(X1?X2)?EX1?EX2． 3．常见的离散型随机变量的均值

（1）若随机变量X服从两点分布，那么EX?p． （2）若随机变量X服从二项分布，那么EX?np． （3）若随机变量X服从超几何分布，那么EX?nM． N（二）离散型随机变量的方差、标准差

1．定义

设离散型随机变量X的分布列为

X P x1 x2 ? ? xi ? ? xn p1 p2 pi pn 则称DX?(x1?EX)2p1?(x2?EX)2p2???(xn?EX)2pn为X的方差，DX的算术平方根DX叫做随机变量X的标准差，记作?X．

2．方差的性质

（1）D(aX?b)?a2DX． （2）DX?EX2?(EX)2．

3．常见的一些离散型随机变量的方差 （1）两点分布：DX?pq?p(1?p)．

（2）二项分布：DX?npq?np(1?p)?EX?(1?p)．

（三）正态分布

1﹒正态曲线

?1e我们称函数??，?(x)?2??(x??)22?2，x?(??，??)，其中实数?和?(??0)为参数﹒我们称??，?(x)的

图象为正太分布密度曲线，简称正态曲线，称??，?(x)为正态分布密度函数﹒

b]的概率为P(a?X≤b)????，?(x)dx，即由正态曲线，过点(a，0)和2．随机变量X落在区间(a，ab0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间(a，b]的概率的近似值，点(b， y 如图①所示﹒

O 图① b x 高二期末复习知识纲要 第10页

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