高二期末复习

高二期末复习知识纲要

导数与定积分

一、导数的概念与运算 （一）导数的概念

1．函数y?f(x)在x?x0处的导数

一般地，函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是limf(x0??x)?f(x0)?y，我们称它为函数?lim?x?0?x?x?0?xf(x0??x)?f(x0)?y． ?lim?x?0?x?x?0?xy?f(x)在x?x0处的导数，记作f?(x0)或y?|x?x0，即f?(x0)?lim2．函数y?f(x)的导数

b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间如果函数f(x)在开区间(a，(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f?(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一哥新的函数，我b)内的导函数，记作f?(x)或y?，即 们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a， f?(x)?y??lim?yf(x??x)?f(x)． ?lim?x?0?x?x?0?x（二）导数的几何意义

函数y?f(x)在点x0处的导数f?(x0)，是曲线y?f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y?y0?f?(x0)(x?x0)．

（三）导数的运算

1．基本初等函数的导数公式 （1）若f(x)?c，则f?(x)?0；

（2）若f(x)?x?(??Q)，则f?(x)??x??1； （3）若f(x)?sinx，则f?(x)?cosx；

（4）若f(x)?cosx，则f?(x)??sinx； （5）若f(x)?ax，则f?(x)?axlna(a?0)； （6）若f(x)?ex，则f?(x)?ex；

11（7）若f(x)?logax，则f?(x)?logae?(a?0，且a?1)；

xxlna（8）若f(x)?lnx，则f?(x)?（9）若f(x)?1． x11，则f?(x)??2． xx高二期末复习知识纲要 第1页

（10）若f(x)?x，则f?(x)?2．导数运算法则

12x．

（1）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)； （2）[f(x)?g(x)]??f?(x)g(x)?f(x)g?(x)；

?f(x)??f?(x)g(x)?f(x)g?(x)（3）??(g(x)?0)． ?2[g(x)]?g(x)?（4）[c?f(x)]??c?f?(x)(c为常数）

v?g(x)，则有 上述公式也可记忆为：设u?f(x)，?u??u??v?u?v???????[u?v]?u?v[u?v]?u?v?u?v①；②；③???． (v?0)；④[c?u]??c?u?(c为常数）2v?v?（四）符合函数的导数

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y?f(u)和u?g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y?f(u)和u?g(x)的复合函数，记作y?f(g(x))．

2．复合函数的求导法则

?一般地，设函数u?g(x)在点x处有导数u?x?g(x)，函数y?f(u)在点x的对应点u处有导数?????f?(u)，则复合函数y?f(g(x))在点x处也有导数，且y???yux?yu?ux，或写作f(g(x))?f(u)?g(x)．

二、导数的应用

（一）函数的单调性与导数

1．函数单调性与导函数的关系 b)内可导． 设函数y?f(x)在区间(a，（1）如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增； （2）如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减； （3）如果恒有f?(x)?0，那么函数y?f(x)为常数函数；

b)上递增（或递减）（4）如果函数y?f(x)在区间(a，，那么在该区间内f?(x)≥0（或f?(x)≤0）．

2．求可导函数单调区间的一般步骤和方法 （1）确定f(x)的定义域． （2）求导数f?(x)．

（3）在函数定义域内解不等式f?(x)?0（或f?(x)?0）．

（4）当f?(x)?0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f?(x)?0时，f(x)在相应区间上是减函数．

高二期末复习知识纲要 第2页

（二）函数的奇偶性与导数

1．如果f(x)是可导的奇函数，则f?(x)为偶函数．

证明：设f(x)为可导的奇函数，即f(?x)??f(x)．两边同时对x求导，得f?(?x)?(?x)???f?(x)，

即?f?(?x)??f?(x)，所以f?(?x)?f?(x)．故f?(x)为偶函数．

2．如果f(x)是可导的偶函数，则f?(x)为奇函数．

证明：设f(x)为可导的偶函数，即f(?x)?f(x)．两边同时对x求导，得f?(x)?(?x)??f?(x)，

即?f?(?x)?f?(x)，所以f?(?x)??f?(x)．故f?(x)为奇函数．

（三）函数的极值

1．函数的极值定义

设可导函数y?f(x)在点x?a的函数值f(a)比它在点x?a附近其他点的函数值都小，f?(a)?0；而

且在点x?a附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0．类似地，函数y?f(x)在点x?b的函数值f(b)比它在点x?b附近其他点的函数值都大，f?(b)?0；而且在点x?b附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0．

我们把点a叫做函数y?f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y?f(x)的极小值；点b叫做函数y?f(x)的

极大值点，f(b)叫做函数y?f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

2．求可导函数y?f(x)的极值的方法

一般情况下，我们可以通过如下步骤求出函数y?f(x)的极值点：

（1）求出导数f?(x)； （2）解方程f?(x)?0；

（3）对于方程f?(x)?0的每一个解x0，分析f?(x)在x0左、右两侧的符号（即f(x)的单调性），确定

极值．

①若f?(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f?(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点； ③若f?(x)在x0两侧的符号相同，则x0为不是极值点．

（四）函数的最值

1．函数的最值

如果在函数的定义域I内存在x0，使得对任意的x?I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数定义域内的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x?I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一在定义域内的最小值．函数f(x)在闭区间[a，高二期末复习知识纲要 第3页

定能够取得最大值与最小值，函数的最值一定在极值点或区间端点处取得．

2．求函数的最大值与最小值的步骤

b]上连续，在(a，b)上可导，求f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下： 设函数f(x)在[a，b)上的极值； （1）求f(x)在(a，（2）将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二、定积分的概念与微积分基本定理 （一）定积分的概念

1．曲边梯形的面积

（1）曲边梯形：我们把由直线x?a，x?b(a?b)，y?0和曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形．

（2）求曲边梯形面积的步骤：分割——近似代替——求和——取极限． 2．定积分的定义

b]上连续，用分点 如果函数f(x)在区间[a，

a?x0?x1?x2??xi?1?xi???xn?b

b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi?1，xi]上任取一点?i(i?1，2，?，n)，作和式 将区间[a，

?f(?)?x??ii?1nb?af(?i)， ni?1nb]上的定积分，记作当n??时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，?

baf(x)dx，即

?baf(x)dx?lim?b?af(?i)，

n??ni?1nb]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，积分变量，f(x)dx叫做被积式．

3．定积分的几何意义

b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分?f(x)dx表示由直线从几何上看，如果在区间[a，ababx?a，x?b(a?b)，y?0和曲线y?f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分?f(x)dx的几何意义．

4．定积分的性质

高二期末复习知识纲要 第4页

（1）?kf(x)dx?k?f(x)dx（k为常数）．

aabb（2）?[f1(x)?f2(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx．

aaabbb（3）?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx（其中a?c?b)．

aacbcb（二）微积分基本定理

b]上的连续函数，并且F?(x)?f(x)，那么 一般地，如果f(x)是区间[a，

?baf(x)dx?F(b)?F(a)．

这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．

为了方便，我们常常把F(b)?F(a)记成F(x)|ba，即

?baf(x)dx?F(x)|ba?F(b)?F(a)．

计数原理

（一）基本计数原理

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方

法，??，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1?m2???mn种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要分成n个步骤，做第一步有m1中不同的方法，做第二步有m2中不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1?m2????mn种不同的方法． （二）排列

1．排列

从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出

m个元素的一个排列．

2．排列数

从n个不同元素中取出的m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出的mm个元素的排列数，用符号An表示．

3．排列数公式

（1）依据分步乘法计数原理，利用插空法可得排列数公式：

mAn?n(n?1)(n?2)(n?3)?(n?m?1)．

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