第8章 多元函数微分学(4)

x?0时，有

ln[1?(?x?x)(?y?y)]?x?xlimf(?x?x,?y?y)?lim?x?0?y?0?x?0?y?0

=limln(1?xy?y?x?x?y??x?y)?x?x?x?0?y?0

=

ln(1?xy)x?f(x,y)

当x?0时，有

limf(0,y??y)?lim(y??y)?y

?y?0?y?0故此函数在定义域上是连续的.

二、1.设u 解：

?u?x??f(x,y,z).y??(x,t).t??(x,z).其中f可微?，?有偏导数，求

?u?x??

?f?xxz??f?y(???x??????t?x)

?z?z,?x?y2.设F(,yz)?0其中F(u.v)可微，此方程确定一函数z?z(x,y),求。

解：等式分别对x,y求导

?F?uz?x(z2?z?x)??F?v(?y1?zz2?x)?0

?F?u(?x1?zz2?y)??F?vz?y(z2?z?y)?0

得

?z?xz?x?F?u?F?u?y?F?v ,

?z?yz?x?F?u?F?v?y?F?v

3．设z解

由于f存在二阶连续偏导数,所以?z?x?y2?1xf(xy)?yf(x?y)有连续二阶偏导，

f二阶可导求

?z?x?y2

??z?y?x2,可先求?z?y,然后再求?z?y?x2.

?z?y2?1xxf?(xy)?f(x?y)?yf?(x?y)?f?(xy)?f(x?y)?yf?(x?y)

?z?x?y??z?y?x2?yf??(xy)?f?(x?y)?yf??(x?y)

22??2x?3y?z??8三、设?22??x?2y?3z?17确定了隐函数y2?y(x),z?z(x)

当x?1,y??2,z?2时，求

dydx,dzdx,dzdx2

解：方程组对x解得y??则y????4x?3y??2zz??0求导??2x?2y??6zz??0

?2x,z???xz2

?z32?2,z????xz 时，有y2当x?1,y??2,z?22??2,z???12,z????58

四、在曲线x面x??t,y??t,z?3t?1上求一点 ，使曲线在此点处的切线平行于平

2y?z?4

解：设曲线上任一点对应的切向量为

?T??x?(t),y?(t),z?(t)???1,?2t,6t?

?N平面的法向量为 ??1,2,1?

??由曲线平行于平面得 T?N?1?4t?6t?0 故 t??12

从而x故(?12??,?1412,74,y??14,z?74

)即为所求点。

五、在曲面z法线方程. 解：设曲面z?xy?xy上求一点，使这点的法线垂直于平面x?3y?z?9?0,并求此

上任一点(x0,y0,z0)对应的法向量为

?N1???y0,?x0,1?

?平面x?3y?z?9?0的法向量为 N2??1,3,1?

由法线垂直于平面得 x0故曲面z?xy??3,y0??1

上点(?3,?1,3)的法线垂直于平面

且法线方程为 （x+3）+3（y+1）+（z-3）=0

即 x+3y=z+3=0

六、求函数u解：

?u?xA?3x?2y?z?2xy?2x?3y?6z222在A(1,?2,1)点的梯度大小和方向

??3?6x?2y?2A?0 ,

?u?yA?2x?4y?3A

?u?zA?2z?6A?8

??gradu??3j?8k

373gradu?73, cos??0,cos???,cos??873

七、求

L:x?tf(x,y,z)?2x2322?y2?z2?sin(x,y,z)在点(0,1,2)沿曲线

?t,y?t,z?2t的t减少方向的方向导数

?2

解：

fx?4x?yzcos(xyz)(0,1,2)fy??2y?xzcos(xyz)fz?2z?xycos(xyz)(0,1,2)??2

(0,1,2)?4

?2n?2t?3t,2t,2??t?1???1,2,2?

t?1减少的方向为 l??1,?2,?2?且cos??3??(0,1,2),cos??cos???23

?f?l23

八、求函数z?x2?xy?y2?3ax?3by的极值

解：

?fx?2x?y?3a?0??fy?x?2y?3b?0 得驻点(2a?b,2b?a)

2fxx?2,fxy?1,fyy?2

AC?B?3?0,A?0

2故在点(2a?b,2b?a)有极小值

九、证明：函数z证明：由已知得

?z?x??(1?e)sinxyf(2a?b,2b?a)?3(ab?a?b)

2?(1?e)cosx?y?eyy有无穷多个极大值而没有任何极小值

?z?y?e(coxs?1?y)y

?x?(2n?1)??y令

?z?x?0，

2?z?y?0 解得

?x?2n???y?0 或??z2y??2 (n为整数)

又

A??z?x22??(1?e)cosxy ,B??x?y??esinx

C??z?y2?e(cosx?2?y)y

在(2n?,0)处 ???2?0,A?0故f(2n?,0)?2为极大值；

在?(2n?1)?,0?处 ??0,故f?(2n?1)?,0?非极值。

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