第8章 多元函数微分学(3)

解答：令F(x,y,?)?1x?1y??(x?y?2)

则

1?Fx??2???0?x?1??Fy??2???0

y??x?y?2?0??1x 得x?y?1

因为z?x,y??z?1,1??8.24

求

2?1y?2?x?yxy?2?0 所以z极值??1,1??2

在

条

件

函

?y2数

2u?f(x,y,z)?xy?yz?xzg(x,y,z)?x?z?1?0(x?0,y?0,z?0)下的极值。

解答：设F?x,y,z???Fx??Fy??FZ?x2则?xy?yz?zx??x?y?z?1?222?

?y?z?2?x?0?x?z?2?y?0?x?y?2?z?0?y?z?1?022x?y?z?13 解得

?111?222因f(x,y,z)?f?,,????xy?yz?zx?1??x?y?z??xy?yz?zx?33??3??????12??x?y?2?(y?z)??z?x?22??011??1f?,,??1是极大值.

33??3且等号只在x?y?z?13时才成立,故

测验题(八—1)

一、求下列函数的定义域 （1）u=arcsin

x2z?yzx22 (2)z=

xcos2y

解：(1)

?1??y2?1

D?{(x,y,z)?x2?y2?z?x2?y,x22?y2?0}

???x?0,cos2y?0,即k???y?k???44(2) xcos2y?0，??3??x?0,cos2y?0，即k???y?k??44?D?{(x,y)x?0,k??

?4?y?k???4；x?0，

k???4?y?k??3?4，k?0，1，2，?}

二、求下列二重极限

(1)limx?ay?bexy?1x(a?0,b?0) (2)lim(x2?y)sin21x2x??y???y2

解：(1)

limexy?1xx?ay?b?eab?1a

(2)

lim(xx??y??2?y)sin21x2sin21x22?y?limx??y???y221x?y?1

三、证明limx?0y?0xyx2?y2不存在

证明：令点

limx?0y?kx?0P沿y?kx趋近于(0,0), xyx2

?k1?k2?y2?limx?0kxx2222?kx

此极限值随k的改变而不同，故得证.

四、求下列函数的指定的偏导数或全微分

1、 设u=??x?uxyg(y)?，其中?具有=阶偏导数，g为可导函数。求ux,uy和

解：ux???[x?g(y)]

uy???[x?g(y)]g?(y)

uxy????[x?g(y)]g?(y)

2、 设方程xyz?x?y?z确定了隐函数

z?z(x,y)求zx,zxx

解：等式两端同时对x求偏导 y(z?xzx)?1?zx

则zyz?1x?1?xy

z1)xx?2y(yz?(1?xy)2

3、 设

z?f(x,y)而

y?y(x) 由方程组

?sinu?xy?0??ey?x2?3u?0dzdx

解：方程组确定了一组函数?y?y(x)??u?u(x)

?dy方程组对x求导?cosudu?y?x?0?dxdx ??eydydx?2x?3dudx?0则

dy3y?2xcosudx??3x?eycosu

dz?f?3y?2xcosudxx?fdyydx?fx?fy3x?eycosu

4、 设u???(x)??(y)，（?(x)?0,?,?均为可导），求du

解：

?u)?1?x??(y)[?(x)]?(y??(x)

?u?y?[?(x)]?(y)ln[?(x)]??(x)

du??u?u?xdx??ydy

五、求函数z??0xy?0?0,0)点是否可微？为什么？

?1其它点在(确定求

解：z?x(0,0)?lim?x?0z(?x,0)?z(0,0)?xz(0,?y)?z(0,0)?y?lim?x?00?0?x?0

z?y(0,0)?lim?y?0?0

若函数在(0,0)处可微，则?z?dzdz?0，但

?lim?x?0?y?0

lim?x?0?y?0(?x)?(?y)22?lim?x?0?y?0z(?x,?y)?0(?x)?(?y)221(?x)?(?y)22???

六、求z?ab?bx?ay222222在点P(a2,b2)沿曲线

xa22?yb22?1在该点法线（指

向原点）方向的方向导数。 解：zxP??2bx2P??2ab2 , zyP??2ayba2P??2ab2

曲线在点P(a2,b2ab)切线斜率为K??

法线斜率为K??

??a2由法线指向原点方向得 cos?b?b2 ，cos???a2a?b2

故

?z?lP?ab2(a2?b)2

七、证明锥面z?x?y22?3的所有切平面都通过锥面的顶点

锥面在点(x0,y0,z0)的法向量为 解：设(x0,y0,z0)为锥面上任意一点，则?N{?x0x0?y022

,?y0x0?y022,1}

锥面在(x0,y0,z0)点的切平面为

?x0x0?y022(x?x0)?y0x0?y022(y?y0)?z?z0?x0?y022

又因为(x0,y0,z0)满足

z0?x0?y022?3，故切平面为

?x0x0?y022x?y0x0?y022y?z?3

此平面恒过点(0,0,3).

八、求

f(x,y)?xy22?xy?3y在闭域0?y?4?x,0?x?4上的最大值与最小值。

解：首先考虑函数在区域0?y?4?x,0?x?4上的稳定点

?fx?2x?y?0求得唯一稳定点（1，2），且f(1,2)??3 ?f?2y?x?3?0?y再考虑函数在边界上的情况 在边界0?y?4,x?0上，f(0,y)?y2?3y

32)??94?f?y?2y?3?0,y?32此时

2f(0,，

又

在边界yf(0,0)?0,

f(0,4)?4?0,0?x?4?f?x上，

f(x,0)?x

?2x?0,x?0此时

f(0,0)?0又

在边界yf(4,0)?16 上，

f(x,y)?3x322?4?x,0?x?4?f?x?9x?452

,f(32,52)?0

?6x?9?0,x?此时y?经比较minf(x,y)?f(1,2)??3,maxf(x,y)?f(4,0)?16

测验题（八—2）

一、确定的。

解：D?{(x,y)xy?1,x?0；y?R,x?0} ?ln(1?xy)?x?0f(x,y)??x?y?x?0的定义域，并证明此函数在其定义域上是连续

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